Schwere, Elektricität und Magnetismus:268

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Sechster Abschnitt. §. 69.

 Wenn nun die Curve, durch welche das Integral

$\int (Xdx+Ydy+Zdz)\,$

erstreckt werden soll, nicht kettenförmig mit dem Leiter des galvanischen Stromes verschlungen ist, so lässt sich die Fläche (1) immer so legen, dass sie keinen Punkt mit diesem Leiter gemein hat. Dann sind für jeden Punkt der Fläche die Gleichungen (2) des §. 66 erfüllt, und folglich geht die Gleichung (4) über in

(5)	${\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}=0.\,$

Es gilt also auch die Gleichung (4) des vorigen Paragraphen, d. h. es ist

(6)	$\int (Xdx+Ydy+Zdz)=0,\,$

wenn dieses Integral durch eine in sich zurücklaufende Curve erstreckt wird, die nicht kettenförmig mit dem Leiter des galvanischen Stromes verschlungen ist.

 Wenn dagegen die Integrationscurve mit dem Stromleiter kettenförmig verschlungen ist, so ist es unmöglich, die Fläche (1) so zu legen, dass sie keinen Punkt mit dem Leiter gemein habe. Dann ist also die Gleichung (5) nicht überall erfüllt und deshalb hat auch das Integral (6) nicht den Werth Null.

§. 69. Die Potentialfunction $V\,$ der elektromagnetischen Kräfte.

 Wir legen eine Fläche $S\,$ in der Weise, dass der Leiter des galvanischen Stromes ihre vollständige und alleinige Begrenzung bilde. Dann gilt der Satz (6) des vorigen Paragraphen für jeden Integrationsweg, welcher die Fläche $S\,$ nicht schneidet. Nehmen wir an irgend einer Stelle des Raumes den Anfangspunkt der Integration und erstrecken von da aus das Integral

$\int (Xdx+Ydy+Zdz)\,$

bis zum Punkte $(x,\,y,\,z)$ auf verschiedenen Wegen, von denen aber keiner die Fläche $S\,$ schneidet, so sind die Integralwerthe, die auf allen diesen Wegen zu Stande kommen, einander gleich.