Schwere, Elektricität und Magnetismus:157

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 143
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Allgemeine Eigenschaften der Green'schen Function $U\!$.

genügen im Innern von $S_{1}\!$ beide Functionen der partiellen Differentialgleichung (1). Folglich ist nach dem Satze von Green (§. 20)

(2)	$\int \left(U_{\varepsilon }{\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial n}}-U_{\varepsilon '}{\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial n}}\right)d\sigma =0,$

wenn das Integral über die Begrenzung von $S_{1}\!$ erstreckt wird und $n\!$ die in der Begrenzung nach dem Innern von $S_{1}\!$ gezogene Normale bezeichnet. Die Begrenzung von $S_{1}\!$ besteht aus der Oberfläche des Raumes $S\!$ und aus den beiden Kugelflächen um $\varepsilon \!$ und $\varepsilon '.\!$ In der Oberfläche von $S\!$ sind $U_{\varepsilon }\!$ und $U_{\varepsilon '}\!$ beide gleich Null, folglich liefert diese Oberfläche zu dem Integral (2) ebenfalls den Beitrag Null. Für die Kugelfläche um $\varepsilon \!$ (Fig. 26) fällt die Richtung von $n\!$ mit der Richtung der wachsenden $t\!$ zusammen. Das Oberflächen-Element $d\sigma \!$ ist $t^{2}d\omega \!$, wenn mit $d\omega \!$ das Element auf einer Kugel vom Radius 1 bezeichnet wird. Die um $\varepsilon \!$ gelegte Kugelfläche liefert also zu dem Integral (2) den Beitrag

$\int \left(U_{\varepsilon }{\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial t}}-U_{\varepsilon '}{\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial t}}\right)t^{2}d\omega .$

Nun sind $U_{\varepsilon '},\!$ und ${\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial t}}\!$ in der Kugelfläche endlich. Ferner ist in ihr

$U_{\varepsilon }={\frac {1}{t}}+f.\;c.$ ${\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial t}}=-{\frac {1}{t^{2}}}+f'.\;c.$

Folglich haben wir für ein unendlich abnehmendes $t\!$

$\lim t^{2}U_{\varepsilon }{\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial t}}=0,$ $\lim t^{2}U_{\varepsilon '}{\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial t}}=-U_{\varepsilon '}(\varepsilon ),$

und der Beitrag, welchen die Kugelfläche um $\varepsilon \!$ zu dem Integral (2) liefert, hat für $\lim t=0\!$ den Grenzwerth

$4\,\pi \,U_{\varepsilon '}(\varepsilon ).$

 Ebenso findet sich der Beitrag, welchen die um $\varepsilon \!$ gelegte Kugelfläche zu dem Integral (2) liefert. Sein Grenzwerth für $\lim t=0\!$ ist

$-4\,\pi \,U_{\varepsilon '}(\varepsilon ).$

Der in Gleichung (2) ausgesprochene Satz lautet jetzt also