Schwere, Elektricität und Magnetismus:136

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 28.

$\lim \left\lbrace x(J_{1}+J_{4}+J_{3})\right\rbrace =0$ für $x=0.\,$

Ferner ist nach Gleichung (7)

$x(J_{2}-J_{4})={\frac {2\,\varepsilon \,\pi (\sigma '+\gamma ^{2})}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)+\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}},$

und es ist $\varepsilon =+1\,$ oder $=-1\,$, je nachdem das reelle $x\,$ positiv oder negativ genommen wird.

 Soll nun $Y=0\,$ werden für $x=0\,$, so sieht man, dass in Gleichung (4) zu setzen ist:

(8)	$\Phi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)+\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.$

Dies Resultat stimmt mit der im vorigen Paragraphen gewonnenen Gleichung (17) überein.

 In derselben Weise kann man verfahren, um die Function $\Psi (y,\,z)$ zu bestimmen.

§. 28. Fortsetzung: Die Componente $X\,$ kann als Potentialfunction einer Ellipsenfläche aufgefasst werden.

 Es sollte $F(x,\,y,\,z)$ die Potentialfunction bezeichnen für den Fall, dass der von der Fläche (1) des §. 26 begrenzte cylindrische Raum von $x=-\infty \,$ bis $x=0\,$ mit Masse von der constanten Dichtigkeit $-{\frac {1}{2}}\rho$ und von $x=0\,$ bis $x=\infty \,$ mit Masse von der constanten Dichtigkeit $+{\frac {1}{2}}\rho$ erfüllt ist. Dann ist, wie wir gesehen haben,

$F(x,\,y,\,z)-F(x-a,\,y,\,z)$

die Potentialfunction des Cylinders von der Dichtigkeit $\rho \,$, der von den Endflächen $x=0\,$ und $x=a\,$ begrenzt wird. Lässt man nun $a\,$ unendlich klein werden, so erhält man

${\frac {\partial F}{\partial x}}dx,$ d. h. $X\,dx$

als Potentialfunction des Cylinders, der von den Endflächen $x=0\,$ und $x=dx\,$ begrenzt wird. Ein Element dieses Cylinders enthält die Masse $\rho \,dx\,dy\,dz$. Man kann sich dies auch so vorstellen, als ob die Masse mit der Dichtigkeit $\rho \,dx$ auf der Basisfläche des