Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 20.

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§. 20. Satz von Green.

 Es seien $U\,$ und $V\,$ zwei Functionen von $x,\,y,\,z$, deren Werthe wir für jeden Punkt im Innern des Raumes $T\,$ als gegeben ansehen. Wir betrachten das Integral

(1)	$J=\iiint \left({\frac {\partial U}{\partial x}}{\frac {\partial V}{\partial x}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)dx\,dy\,dz,$

welches über den ganzen Raum $T\,$ erstreckt werden soll. Nun ist

${\frac {\partial U}{\partial x}}{\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {\partial \left(U{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)}{\partial x}}-U{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},$

und zwei entsprechende Gleichungen ergeben sich, wenn man die Differentiationen nach $y\,$ und nach $z\,$ vornimmt. Folglich kann man schreiben:

${\begin{aligned}J=&-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&+\iiint {\frac {\partial \left(U{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)}{\partial x}}dx\,dy\,dz\\&+\iiint {\frac {\partial \left(U{\frac {\partial V}{\partial y}}\right)}{\partial y}}dx\,dy\,dz\\&+\iiint {\frac {\partial \left(U{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)}{\partial z}}dx\,dy\,dz.\\\end{aligned}}$

Auf die drei letzten Integrale lässt sich die Transformation des vorigen Paragraphen anwenden, wenn vorausgesetzt wird, dass $U{\frac {\partial V}{\partial x}},\,U{\frac {\partial V}{\partial y}},\,U{\frac {\partial V}{\partial z}}$ im Innern des Raumes $T\,$ endliche und stetige Functionen sind. Man erhält danach

${\begin{aligned}J=&-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&-\int U\left({\frac {\partial V}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial n}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial n}}+{\frac {\partial V}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial n}}\right)d\sigma \\\end{aligned}}$

oder kürzer

(2)	${\begin{aligned}J=&-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&-\int U{\frac {\partial V}{\partial n}}d\sigma .\\\end{aligned}}$

Das erste Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist über den Raum $T\,$, das zweite über seine Oberfläche zu erstrecken.

 Die Voraussetzung, unter welcher das Integral (1) in die Form (2) gebracht werden kann, ist erfüllt, wenn $U\,$ und $V\,$ und die ersten Derivirten von $V\,$ im Innern des Raumes $T\,$ endlich und stetig variabel sind. Setzt man dasselbe auch noch von den ersten Derivirten der Function $U\,$ voraus, so gilt auch die Transformation:

${\begin{aligned}J=&-\iiint V\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&-\int V{\frac {\partial U}{\partial n}}d\sigma .\\\end{aligned}}$

 Aus (2) und (3) geht dann ohne weiteres der Satz hervor:

(4)

$\iiint \left\lbrack V\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)-U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)\right\rbrack dx\,dy\,dz$

$+\int \left(V{\frac {\partial U}{\partial n}}-U{\frac {\partial V}{\partial n}}\right)d\sigma$ $=0.\,$

 Dieser Satz ist gültig, wenn im Innern des Raumes $T\,$ die Functionen $U\,$ und $V\,$, sowie die ersten Derivirten von $U\,$ und von $V\,$ endlich und stetig variabel sind.

 Treten im Innern von $T\,$ in einzelnen Flächen oder Linien oder Punkten Unstetigkeiten von $U\,$ oder von $V\,$ oder von den ersten Derivirten dieser Functionen auf, so hat man den Raum $T\,$ in zwei Bestandtheile $T_{1}\,$ und $T_{2}\,$ zu zerlegen, so dass alle Unstetigkeiten der Functionen in $T_{2}\,$ liegen. Auf den Raum $T_{1}\,$ darf man dann den Satz (4) anwenden, und es ist die Frage aufzuwerfen, welchen Grenzwerthen sich die Integrale annähern, wenn man den Raum $T_{2}\,$ unendlich abnehmen lässt. Sind solche bestimmte, endliche Grenzwerthe vorhanden, so gilt der Satz (4) auch für den Raum $T\,$. Das dreifache Integral ist über den ganzen Raum $T\,$ zu erstrecken, das Oberflächen-Integral über seine Oberfläche und über die Umhüllungen der Unstetigkeitsstellen.

 Dieser Satz ist von Green aufgestellt im 3. Artikel einer Abhandlung, die zuerst in Nottingham 1828 erschienen und später in Crelle's Journal, Bd. 39, 44, 47, wieder abgedruckt ist.*)^[1]

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1. *) An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism.