Schwere, Elektricität und Magnetismus:086

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 72
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Zweiter Abschnitt. §. 20.

Differentiationen nach $y\,$ und nach $z\,$ vornimmt. Folglich kann man schreiben:

${\begin{aligned}J=&-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&+\iiint {\frac {\partial \left(U{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)}{\partial x}}dx\,dy\,dz\\&+\iiint {\frac {\partial \left(U{\frac {\partial V}{\partial y}}\right)}{\partial y}}dx\,dy\,dz\\&+\iiint {\frac {\partial \left(U{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)}{\partial z}}dx\,dy\,dz.\\\end{aligned}}$

Auf die drei letzten Integrale lässt sich die Transformation des vorigen Paragraphen anwenden, wenn vorausgesetzt wird, dass $U{\frac {\partial V}{\partial x}},\,U{\frac {\partial V}{\partial y}},\,U{\frac {\partial V}{\partial z}}$ im Innern des Raumes $T\,$ endliche und stetige Functionen sind. Man erhält danach

${\begin{aligned}J=&-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&-\int U\left({\frac {\partial V}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial n}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial n}}+{\frac {\partial V}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial n}}\right)d\sigma \\\end{aligned}}$

oder kürzer

(2)	${\begin{aligned}J=&-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&-\int U{\frac {\partial V}{\partial n}}d\sigma .\\\end{aligned}}$

Das erste Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist über den Raum $T\,$, das zweite über seine Oberfläche zu erstrecken.

 Die Voraussetzung, unter welcher das Integral (1) in die Form (2) gebracht werden kann, ist erfüllt, wenn $U\,$ und $V\,$ und die ersten Derivirten von $V\,$ im Innern des Raumes $T\,$ endlich und stetig variabel sind. Setzt man dasselbe auch noch von den ersten Derivirten der Function $U\,$ voraus, so gilt auch die Transformation:

${\begin{aligned}J=&-\iiint V\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&-\int V{\frac {\partial U}{\partial n}}d\sigma .\\\end{aligned}}$