Schwere, Elektricität und Magnetismus:085

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 71
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Hülfssatz aus der Analysis.

Das Zeichen $\sum$ auf der rechten Seite von (2) bedeutet, dass die Werthe der Function $F{\frac {\partial x}{\partial n}}d\sigma$ an allen Eintritts- und Austrittsstellen summirt werden sollen. Es bleibt dann noch die doppelte Integration nach $y\,$ und nach $z\,$ auszuführen. Dies geschieht, wenn man auf der rechten Seite von (2) nicht nur die Beiträge nimmt, welche ein einzelnes Elementarprisma liefert, sondern die Beiträge von allen Prismen, die den Raum $T\,$ überhaupt treffen. D. h. die Summe auf der rechten Seite der Gleichung (2) wird zu einem Integral, welches über die ganze Oberfläche von $T\,$ zu erstrecken ist. Danach lautet das Resultat:

(3)	$\iiint {\frac {\partial F}{\partial x}}dx\,dy\,dz=-\int F{\frac {\partial x}{\partial n}}d\sigma .$

Die Integration auf der linken Seite ist über den ganzen Raum $T\,$, auf der rechten Seite über seine Oberfläche auszudehnen.

 Auf demselben Wege findet man noch die etwas allgemeinere Gleichung:

(4)	$\iiint \left({\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}\right)dx\,dy\,dz$

$=-\int \left(F_{1}{\frac {\partial x}{\partial n}}+F_{2}{\frac {\partial y}{\partial n}}+F_{3}{\frac {\partial z}{\partial n}}\right)d\sigma .$

Dabei ist nur vorausgesetzt, dass die von $x,\,y,\,z$ abhängigen Functionen $F_{1},\,F_{2},\,F_{3}$ im Innern des Körpers endlich und stetig variabel sind.

§. 20. Satz von Green.

 Es seien $U\,$ und $V\,$ zwei Functionen von $x,\,y,\,z$, deren Werthe wir für jeden Punkt im Innern des Raumes $T\,$ als gegeben ansehen. Wir betrachten das Integral

(1)	$J=\iiint \left({\frac {\partial U}{\partial x}}{\frac {\partial V}{\partial x}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)dx\,dy\,dz,$

welches über den ganzen Raum $T\,$ erstreckt werden soll. Nun ist

${\frac {\partial U}{\partial x}}{\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {\partial \left(U{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)}{\partial x}}-U{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},$

und zwei entsprechende Gleichungen ergeben sich, wenn man die