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Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 107.

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§. 107.
Entwicklung der Function nach Kugelfunctionen.


 Das Element der Kugeloberfläche vom Radius lässt sich ausdrücken



Führt man dies in die Gleichung (3) des vorigen Paragraphen ein und benutzt die Gleichungen (4) und (6) desselben Paragraphen, so erhält man


(1)


Nun können wir für entwickeln:


(2)


Dagegen hat man für :


(3)


Die auftretenden Coefficienten sind in beiden Entwicklungen dieselben. Es sind algebraische, rationale, ganze Functionen von , und zwar jede von dem Grade, den ihr Index angibt. Es ist nicht schwer, einen Ausdruck für zu finden. Man hat nur zu beachten, dass die Gleichungen (2) und (3) auf der einen Entwicklung beruhen


(3)


wenn positiv und kleiner als genommen wird. Man kann aber schreiben |[344]



und da drr absolute Zahlwerth von kleiner als ist, so darf man auf der rechten Seite der letzten Gleichung den ersten Factor nach dem binomischen Lehrsatze entwickeln und jedes Glied der Reihe mit dem zweiten Factor ausmultipliciren. Dadurch ergibt sich



Hier hat man die Potenzen von mit negativen, gebrochenen Exponenten wieder nach dem binomischen Lehrsatze zu entwickeln und schliesslich nach ganzen Potenzen von zu ordnen. Auf diesem Wege findet sich


(4)


und für jedes ganze , das grösser als ist:


(5)


 Hiernach dürfen wir die Coefficienten in (2) und (3) als bekannte Functionen von ansehen.[1] Für stimmen beide Entwicklungen überein. Werden die in (2) und (3) gewonnenen Reihen in die Gleichung (1) eingeführt, so ergibt sich

  für einen Punkt im äusseren Raume :


(6)


|[345]   ferner für einen Punkt im Innern der Erde


(7)


  endlich für einen Punkt der Erdoberfläche


(8)


In den drei letzten Gleichungen hat überall dieselbe Bedeutung, nemlich


(9)


Nun ist aber eine ganze Function ten Grades von d. h. nach Gleichung (5) des vorigen Paragraphen eine ganze Function ten Grades von den drei Grossen . Folglich gilt dasselbe in Betreff der Function . Um einen Ausdruck für zu erhalten, haben wir zu beachten, dass die Function im äusseren Raume sowohl wie im Innern der Erde der Gleichung von Laplace Genüge leisten muss. Es lässt sich dabei nach (9) und (4) vorab bemerken, dass ist.



  1. *) Andere Entwicklungen für findet man im 17. Bande von Crelle’s Journal in der Abhandlung von Dirichlet: Sur les séries dont le terme général dépend de deux angles et qui servent à exprimer des fonctions arbitraires entre des limites données. — Man vergleiche auch Heine, Handbuch der Kugelfunctionen. Berlin 1861. — Sidler, die Theorie der Kugelfunctionen. Bern 1861.