Schwere, Elektricität und Magnetismus:359

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 345
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Die Kugelfunction $n\,$ten Ranges.

  ferner für einen Punkt im Innern der Erde $(r<a)\,$

(7)	$V=-a\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\left({\frac {r}{a}}\right)^{n};$

  endlich für einen Punkt der Erdoberfläche $(r=a)\,$

(8)	$V=-a\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}.$

In den drei letzten Gleichungen hat $Q_{n}\,$ überall dieselbe Bedeutung, nemlich

(9)	$Q_{n}=\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot f(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '.\,$

Nun ist aber $P_{n}\,$ eine ganze Function $n\,$ten Grades von $\cos \gamma \,$ d. h. nach Gleichung (5) des vorigen Paragraphen eine ganze Function $n\,$ten Grades von den drei Grossen $\cos \theta ,\ \sin \theta \cos \varphi ,\ \sin \theta \sin \varphi \,$. Folglich gilt dasselbe in Betreff der Function $Q_{n}\,$. Um einen Ausdruck für $Q_{n}\,$ zu erhalten, haben wir zu beachten, dass die Function $V\,$ im äusseren Raume sowohl wie im Innern der Erde der Gleichung von Laplace Genüge leisten muss. Es lässt sich dabei nach (9) und (4) vorab bemerken, dass $Q_{0}={\text{const.}}\,$ ist.

§. 108. Die Kugelfunction $n\,$ten Ranges.

 Die Gleichung von Laplace lautet für Kugelcoordinaten [§. 29, (4)]

(1)	${\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}=0.\,$

Nehmen wir zunächst einen Punkt im äusseren Raume, so ergibt sich aus Gleichung (6) des vorigen Paragraphen:

${\frac {\partial V}{\partial r}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)Q_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+2},\,$

$r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}=a^{2}\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)Q_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n},\,$

${\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}=-a\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)nQ_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+1}.\,$