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Schwere, Elektricität und Magnetismus:359

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 345
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Die Kugelfunction ten Ranges.


  ferner für einen Punkt im Innern der Erde


(7)


  endlich für einen Punkt der Erdoberfläche


(8)


In den drei letzten Gleichungen hat überall dieselbe Bedeutung, nemlich


(9)


Nun ist aber eine ganze Function ten Grades von d. h. nach Gleichung (5) des vorigen Paragraphen eine ganze Function ten Grades von den drei Grossen . Folglich gilt dasselbe in Betreff der Function . Um einen Ausdruck für zu erhalten, haben wir zu beachten, dass die Function im äusseren Raume sowohl wie im Innern der Erde der Gleichung von Laplace Genüge leisten muss. Es lässt sich dabei nach (9) und (4) vorab bemerken, dass ist.


§. 108.
Die Kugelfunction ten Ranges.


 Die Gleichung von Laplace lautet für Kugelcoordinaten [§. 29, (4)]


(1)


Nehmen wir zunächst einen Punkt im äusseren Raume, so ergibt sich aus Gleichung (6) des vorigen Paragraphen: