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Es würde also der Aether parallel den Stromlinien fliessen,
in denen die durch die z -Axe gelegten Ebenen die Flächen
r
2
z
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle r^{2}z={\rm {const.}}}
γ
{\displaystyle \gamma }
ϱ
=
0
{\displaystyle \varrho =0}
Als zweiten Fall betrachten wir einen electrisirten Punkt mit der Ladung e , der sich mit der constanten Geschwindigkeit v durch den Raum bewegt. Dieser Fall ist vollständig von Heaviside behandelt und zwar giebt seine Lösung folgende Werthe der electrischen und magnetischen Kräfte, bezogen auf ein in dem electrisirten Punkt festes Coordinatensystem, in dessen x -Axe die Bewegung erfolgt.
X
=
1
v
∂
U
∂
x
(
1
−
A
2
v
2
)
,
Y
=
1
v
∂
U
∂
y
,
Z
=
1
v
∂
U
∂
z
,
M
=
−
A
∂
U
∂
z
,
N
=
A
∂
U
∂
y
,
L
=
0.
{\displaystyle {\begin{array}{lclcc}X={\frac {1}{v}}{\frac {\partial U}{\partial x}}\left(1-A^{2}v^{2}\right),&&Y={\frac {1}{v}}{\frac {\partial U}{\partial y}},&&Z={\frac {1}{v}}{\frac {\partial U}{\partial z}},\\\\M=-A{\frac {\partial U}{\partial z}},&&N=A{\frac {\partial U}{\partial y}},&&L=0.\end{array}}}
U
=
e
v
r
2
−
A
2
v
2
ϱ
2
ϱ
2
=
y
2
+
z
2
{\displaystyle U={\frac {ev}{\sqrt {r^{2}-A^{2}v^{2}\varrho ^{2}}}}\quad \varrho ^{2}=y^{2}+z^{2}}
Dann ergiebt sich für die Grössen
P
,
Q
,
R
{\displaystyle {\mathfrak {P,\ Q,\ R}}}
P
=
A
ϱ
2
(
r
2
−
A
2
v
2
ϱ
2
)
3
,
Q
=
−
A
x
y
(
r
2
−
A
2
v
2
ϱ
2
)
3
,
{\displaystyle {\mathfrak {P}}={\frac {{\mathfrak {A}}\varrho ^{2}}{\left(r^{2}-A^{2}v^{2}\varrho ^{2}\right)^{3}}},\quad {\mathfrak {Q}}=-{\frac {{\mathfrak {A}}xy}{\left(r^{2}-A^{2}v^{2}\varrho ^{2}\right)^{3}}},}
R
=
−
A
x
z
(
r
2
−
A
2
v
2
ϱ
2
)
3
,
{\displaystyle {\mathfrak {R}}=-{\frac {{\mathfrak {A}}xz}{\left(r^{2}-A^{2}v^{2}\varrho ^{2}\right)^{3}}},}
A
=
e
2
v
A
(
1
−
A
2
v
2
)
.
{\displaystyle {\mathfrak {A}}=e^{2}vA\left(1-A^{2}v^{2}\right).}
Setzen wir wieder
α
=
−
1
ϱ
∂
ψ
∂
ϱ
,
β
=
∂
ψ
∂
x
y
ϱ
2
+
η
z
,
γ
=
∂
ψ
∂
x
z
ϱ
2
−
η
y
,
{\displaystyle \alpha =-{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial \psi }{\partial \varrho }},\quad \beta ={\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {y}{\varrho ^{2}}}+\eta z,\quad \gamma ={\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {z}{\varrho ^{2}}}-\eta y,}
S
=
A
(
r
2
−
A
2
v
2
ϱ
2
)
3
.
{\displaystyle {\mathfrak {S}}={\frac {\mathfrak {A}}{\left(r^{2}-A^{2}v^{2}\varrho ^{2}\right)^{3}}}.}
so erhalten wir aus den Gleichungen (1)
0
=
∂
P
∂
ϱ
+
A
(
−
v
∂
S
∂
x
x
ϱ
−
ϱ
v
S
+
∂
ψ
∂
ϱ
[
3
S
+
x
∂
S
∂
x
+
ϱ
∂
S
∂
ϱ
]
)
,
{\displaystyle 0={\frac {\partial P}{\partial \varrho }}+A\left(-v{\frac {\partial {\mathfrak {S}}}{\partial x}}x\varrho -\varrho v{\mathfrak {S}}+{\frac {\partial \psi }{\partial \varrho }}\left[3{\mathfrak {S}}+x{\frac {\partial {\mathfrak {S}}}{\partial x}}+\varrho {\frac {\partial {\mathfrak {S}}}{\partial \varrho }}\right]\right),}
0
=
∂
P
∂
x
+
A
(
−
v
∂
S
∂
x
ϱ
2
+
∂
ψ
∂
x
[
3
S
+
x
∂
S
∂
z
+
ϱ
∂
S
∂
ϱ
]
)
.
{\displaystyle 0={\frac {\partial P}{\partial x}}+A\left(-v{\frac {\partial {\mathfrak {S}}}{\partial x}}\varrho ^{2}+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\left[3{\mathfrak {S}}+x{\frac {\partial {\mathfrak {S}}}{\partial z}}+\varrho {\frac {\partial {\mathfrak {S}}}{\partial \varrho }}\right]\right).}
![{\displaystyle 0={\frac {\partial P}{\partial \varrho }}+A\left(-v{\frac {\partial {\mathfrak {S}}}{\partial x}}x\varrho -\varrho v{\mathfrak {S}}+{\frac {\partial \psi }{\partial \varrho }}\left[3{\mathfrak {S}}+x{\frac {\partial {\mathfrak {S}}}{\partial x}}+\varrho {\frac {\partial {\mathfrak {S}}}{\partial \varrho }}\right]\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9efe405315c452c99a30a50a2bc5cdc273889ac4)
![{\displaystyle 0={\frac {\partial P}{\partial x}}+A\left(-v{\frac {\partial {\mathfrak {S}}}{\partial x}}\varrho ^{2}+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\left[3{\mathfrak {S}}+x{\frac {\partial {\mathfrak {S}}}{\partial z}}+\varrho {\frac {\partial {\mathfrak {S}}}{\partial \varrho }}\right]\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b76e674175758bfcf465ea090f6cb526149bbe)
