wo
, …,
lineare Formen von
, …,
mit ganzen rationalen Koeffizienten sind. Wir beweisen zunächst, daß die Determinante
der Formen
, …,
eine rationale Einheitsform ist. In der Tat, wären im Gegenteil
die Koeffizienten der Determinante
sämtlich durch eine Primzahl
teilbar,
so müßten notwendig
Formen
, …,
existieren, deren Koeffizienten
ganze rationale, nicht sämtlich durch
teilbare Zahlen sind, und welche den
Bedingungen
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genügen. Hieraus würde
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folgen, d. h. das Produkt
ist durch
teilbar, wobei
den Inhalt der Form
bezeichnet. Mithin wäre
durch
teilbar, was nicht der
Fall sein kann, da eine Zahl von der Gestalt
, wo
, …,
ganze rationale Zahlen bedeuten, nur dann durch
teilbar ist, sobald die
Koeffizienten
, …,
sämtlich durch
teilbar sind.
Nach dem Multiplikationstheorem der Determinanten ist
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und mithin folgt nach Weghebung des Faktors
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die Beziehung
oder
. Der zweite Teil des
Satzes folgt, wenn wir
nehmen.
Wendet man auf die sämtlichen Zahlen
,
, … des Ideals
die Substitution
an, so heißt das dann entstehende Ideal
das durch
aus
entspringende oder zu
konjugierte Ideal. Betrachtet man den
aus
,
, …,
zusammengesetzten Körper, so lehren die Sätze 18 und 20,
daß das Produkt von
und allen zu
konjugierten Idealen eine ganze rationale
Zahl, nämlich
ist[1]. Aus diesem Umstande entspringt eine neue Definition
der Norm des Ideals
, welche der Definition der Norm einer Zahl
genau
entspricht und überdies einer wichtigen Verallgemeinerung fähig ist. Vgl. § 14.