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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.3

Ausdruck von der Gestalt $a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{f}\omega _{f}$ nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent sein; dann kann dieser Ausdruck jeder Zahl nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent werden, und es beträgt die Anzahl der einander inkongruenten Zahlen nach ${\mathfrak {p}}$ offenbar $p^{f}$.

Der Exponent $f$ heißt der Grad des Primideals ${\mathfrak {p}}$.

Satz 18. Die Norm des Produktes zweier Ideale ${\mathfrak {ab}}$ ist gleich dem Produkt ihrer Normen.

Beweis: Es sei $\alpha$ eine nach Satz 12 gewählte durch ${\mathfrak {a}}$ teilbare Zahl von der Art, daß $\textstyle {\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}$ ein zu ${\mathfrak {b}}$ primes Ideal ist. Durchläuft dann $\xi$ ein System von $n({\mathfrak {a}})$ nach ${\mathfrak {a}}$ einander inkongruenten Zahlen und $\eta$ ein System von $n({\mathfrak {b}})$ nach ${\mathfrak {b}}$ zueinander inkongruenten Zahlen, so stellt der Ausdruck $\alpha \eta +\xi$ ein volles System nach ${\mathfrak {ab}}$ einander inkongruenten Zahlen dar; ein solches System umfaßt mithin $n({\mathfrak {a}})n({\mathfrak {b}})$ Zahlen.

Satz 19. Ist

${\begin{aligned}\iota _{1}&=a_{11}\omega _{1}+\cdots +a_{1m}\omega _{m},\\&\qquad \qquad \quad \vdots \\\iota _{m}&=a_{m1}\omega _{1}+\cdots +a_{mm}\omega _{m},\end{aligned}}$

eine Basis des Ideals ${\mathfrak {a}}$, so ist seine Norm $n({\mathfrak {a}})$ gleich dem absoluten Betrage der Determinante der Koeffizienten $a$.

Beweis. Legen wir die Basis des Ideals in der ursprünglich beim Beweise des Satzes 6 gefundenen Gestalt zugrunde, wo die Koeffizienten $a_{rs}$ für $s>r$ sämtlich $=0$ und die $a_{rr}>0$ sind, so ist die Determinante jener Koeffizienten $a$ gleich dem Produkt $a_{11}\ldots a_{mm}$. Andererseits stellt der Ausdruck

$u_{1}\omega _{1}+\cdots +u_{m}\omega _{m}$

für

$u_{1}=0,\,1,\,\ldots ,\,a_{11}-1,\,\ldots ,\,u_{m}=0,\,1,\,\ldots ,\,a_{mm}-1$

ein vollständiges System nach ${\mathfrak {a}}$ einander inkongruenter Zahlen dar. Damit ist Satz 19 bewiesen. Zugleich leuchtet die Umkehrung dieses Satzes ein.

Der Zusammenhang mit der Kroneckerschen Formentheorie erhellt aus dem Satze:

Satz 20. Ist $F$ eine Form mit dem Inhalte ${\mathfrak {a}}$, so ist die Norm der Form $F$ gleich der Norm des Ideals ${\mathfrak {a}}$, d. h. $n(F)=n({\mathfrak {a}})$. Insbesondere ist die Norm einer ganzen Zahl $\alpha$ dem absoluten Betrage nach stets gleich der Norm des Hauptideals ${\mathfrak {a}}=(\alpha )$.

Beweis: Ist $\iota _{1},\ldots ,\iota _{m}$ eine Basis des Ideals ${\mathfrak {a}}$, so bilde man die Form

$F=\iota _{1}u_{1}+\cdots +\iota _{m}u_{m};$

dann ist

${\begin{aligned}\omega _{1}F&=l_{11}\iota _{1}+\cdots +l_{1m}\iota _{m},\\&\qquad \qquad \quad \vdots \\\omega _{m}F&=l_{m1}\iota _{1}+\cdots +l_{mm}\iota _{m},\end{aligned}}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 80. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/97&oldid=- (Version vom 4.6.2018)