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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/97

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Ausdruck von der Gestalt nach kongruent sein; dann kann dieser Ausdruck jeder Zahl nach kongruent werden, und es beträgt die Anzahl der einander inkongruenten Zahlen nach offenbar .

Der Exponent heißt der Grad des Primideals .

Satz 18. Die Norm des Produktes zweier Ideale ist gleich dem Produkt ihrer Normen.

Beweis: Es sei eine nach Satz 12 gewählte durch teilbare Zahl von der Art, daß ein zu primes Ideal ist. Durchläuft dann ein System von nach einander inkongruenten Zahlen und ein System von nach zueinander inkongruenten Zahlen, so stellt der Ausdruck ein volles System nach einander inkongruenten Zahlen dar; ein solches System umfaßt mithin Zahlen.

Satz 19. Ist

eine Basis des Ideals , so ist seine Norm gleich dem absoluten Betrage der Determinante der Koeffizienten .

Beweis. Legen wir die Basis des Ideals in der ursprünglich beim Beweise des Satzes 6 gefundenen Gestalt zugrunde, wo die Koeffizienten für sämtlich und die sind, so ist die Determinante jener Koeffizienten gleich dem Produkt . Andererseits stellt der Ausdruck

für

ein vollständiges System nach einander inkongruenter Zahlen dar. Damit ist Satz 19 bewiesen. Zugleich leuchtet die Umkehrung dieses Satzes ein.

Der Zusammenhang mit der Kroneckerschen Formentheorie erhellt aus dem Satze:

Satz 20. Ist eine Form mit dem Inhalte , so ist die Norm der Form gleich der Norm des Ideals , d. h. . Insbesondere ist die Norm einer ganzen Zahl dem absoluten Betrage nach stets gleich der Norm des Hauptideals .

Beweis: Ist eine Basis des Ideals , so bilde man die Form

dann ist