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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.2

so stellen wir denselben in gleicher Weise als Produkt zweier Ideale dar und erhalten somit ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {a'b'c'}}$, und so fahren wir fort. Dieses Verfahren bricht notwendig ab; nach Hilfssatz 1 gibt es nämlich nur eine endliche Anzahl von Teilern des Ideals ${\mathfrak {j}}$. Ist $r$ diese Anzahl, so kann jedenfalls ${\mathfrak {j}}$ nicht gleich einem Produkt von mehr als $r$ Faktoren sein, da eine Darstellung ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {a}}_{1}\ldots {\mathfrak {a}}_{r+1}$ die Existenz der $r+1$ untereinander verschiedenen Idealteiler

${\mathfrak {a}}_{1},\quad {\mathfrak {a}}_{1}{\mathfrak {a}}_{2},\quad {\mathfrak {a}}_{1}{\mathfrak {a}}_{2}{\mathfrak {a}}_{3},\quad \ldots ,\quad {\mathfrak {a}}_{1}\ldots {\mathfrak {a}}_{r+1}$

bedingen würde. Der letzte Schritt des eingeschlagenen Verfahrens liefert die gewünschte Darstellung

${\mathfrak {j}}={\mathfrak {pq\ldots l}}$.

Diese Darstellung ist eindeutig. Denn wäre zugleich ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {p}}'{\mathfrak {q}}'\ldots {\mathfrak {l}}'$, so wird ${\mathfrak {j}}$ durch ${\mathfrak {p}}'$ und folglich nach Satz 11 einer der Faktoren ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …, ${\mathfrak {l}}$, etwa ${\mathfrak {p}}$, durch ${\mathfrak {p}}'$ teilbar sein, d. h. es wäre ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}'$, und folglich ergibt sich nach Satz 9 die Gleichung ${\mathfrak {q}}\ldots {\mathfrak {l}}={\mathfrak {q}}'\ldots {\mathfrak {l}}'$, welche wie die ursprüngliche zu behandeln ist.

Der Fundamentalsatz 7 läßt leicht die folgende Tatsache erkennen:

Satz 12. Ein jedes Ideal ${\mathfrak {j}}$ des Körpers $k$ kann als größter gemeinsamer Teller zweier ganzen Zahlen $\varkappa$, $\varrho$ dargestellt werden.

Beweis: Ist $\varkappa$ eine beliebige durch ${\mathfrak {j}}$ teilbare ganze Zahl, $\varrho$ jedoch eine solche durch ${\mathfrak {j}}$ teilbare ganze Zahl, daß $\textstyle {\frac {\varrho }{\mathfrak {j}}}$ zu $\textstyle {\frac {\varkappa }{\mathfrak {j}}}$ prim ausfällt, so ist ${\mathfrak {j}}=(\varkappa ,\varrho )$. Eine solche Zahl $\varrho$ kann man folgendermaßen finden: Sind ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{r}$ sämtliche in $\varkappa$ aufgehenden Primideale, und ist ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {p}}_{1}^{a_{1}}\ldots {\mathfrak {p}}_{r}^{a_{r}}$, wobei die $a_{i}\geqq 0$ sind, so besitzen die $r$ Ideale ${\mathfrak {d}}_{i}={\mathfrak {p}}_{1}^{a_{1}+1}\ldots {\mathfrak {p}}_{i-1}^{a_{i-1}+1}{\mathfrak {p}}_{i+1}^{a_{i+1}+1}\ldots {\mathfrak {p}}_{r}^{a_{r}+1}$ keinen gemeinsamen Teiler; es gibt also $r$ Zahlen $\delta _{i}$, so daß $\delta _{i}$ in ${\mathfrak {d}}_{i}$ liegt und

$\delta _{1}+\delta _{2}+\cdots +\delta _{r}=1$

ist. Bedeutet ferner $\alpha _{i}$ eine Zahl, die in ${\mathfrak {p}}_{i}^{a_{i}}$, aber nicht in ${\mathfrak {p}}_{i}^{a_{i}+1}$ liegt, so setze man

$\varrho =\alpha _{1}\delta _{1}+\cdots +\alpha _{r}\delta _{r}$.

$\varrho$ ist dann genau durch ${\mathfrak {p}}_{i}^{a_{i}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {p}}_{i}^{a_{i}+1}$ teilbar.

§ 6. Die Formen des Zahlkörpers und ihre Inhalte.

Die Kroneckersche Formentheorie [Kronecker (16^[1])] erfordert folgende weitere Begriffsbildungen:

Eine ganze rationale Funktion $F$ von beliebig vielen Veränderlichen $u$, $v$, …, deren Koeffizienten ganze algebraische Zahlen des Körpers $k$ sind, heißt eine Form des Körpers $k$. Werden in einer Form $F$ statt der Koeffizienten der Reihe nach bezüglich die konjugierten Zahlen eingesetzt und die so entstehenden sogenannten konjugierten Formen $F'$, …, $F^{(m-1)}$ miteinander und

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1. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Math. 92 (1882).^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kronecker, Leopold: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 92 (1882), S. 1–122 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 77. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/94&oldid=- (Version vom 31.7.2018)