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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/94

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so stellen wir denselben in gleicher Weise als Produkt zweier Ideale dar und erhalten somit , und so fahren wir fort. Dieses Verfahren bricht notwendig ab; nach Hilfssatz 1 gibt es nämlich nur eine endliche Anzahl von Teilern des Ideals . Ist diese Anzahl, so kann jedenfalls nicht gleich einem Produkt von mehr als Faktoren sein, da eine Darstellung die Existenz der untereinander verschiedenen Idealteiler

bedingen würde. Der letzte Schritt des eingeschlagenen Verfahrens liefert die gewünschte Darstellung

.

Diese Darstellung ist eindeutig. Denn wäre zugleich , so wird durch und folglich nach Satz 11 einer der Faktoren , , …, , etwa , durch teilbar sein, d. h. es wäre , und folglich ergibt sich nach Satz 9 die Gleichung , welche wie die ursprüngliche zu behandeln ist.

Der Fundamentalsatz 7 läßt leicht die folgende Tatsache erkennen:

Satz 12. Ein jedes Ideal des Körpers kann als größter gemeinsamer Teller zweier ganzen Zahlen , dargestellt werden.

Beweis: Ist eine beliebige durch teilbare ganze Zahl, jedoch eine solche durch teilbare ganze Zahl, daß zu prim ausfällt, so ist . Eine solche Zahl kann man folgendermaßen finden: Sind , …, sämtliche in aufgehenden Primideale, und ist , wobei die sind, so besitzen die Ideale keinen gemeinsamen Teiler; es gibt also Zahlen , so daß in liegt und

ist. Bedeutet ferner eine Zahl, die in , aber nicht in liegt, so setze man

.

ist dann genau durch , aber nicht durch teilbar.

§ 6. Die Formen des Zahlkörpers und ihre Inhalte.

Die Kroneckersche Formentheorie [Kronecker (16[1])] erfordert folgende weitere Begriffsbildungen:

Eine ganze rationale Funktion von beliebig vielen Veränderlichen , , …, deren Koeffizienten ganze algebraische Zahlen des Körpers sind, heißt eine Form des Körpers . Werden in einer Form statt der Koeffizienten der Reihe nach bezüglich die konjugierten Zahlen eingesetzt und die so entstehenden sogenannten konjugierten Formen , …, miteinander und


  1. [359] Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Math. 92 (1882).[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kronecker, Leopold: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 92 (1882), S. 1–122 GDZ Göttingen
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 77. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/94&oldid=- (Version vom 31.7.2018)