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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.2

mit der ursprünglichen Form $F$ multipliziert, so ergibt sich als Produkt eine ganze Funktion der Veränderlichen $u$, $v$, …, deren Koeffizienten ganze rationale Zahlen sind; dieselbe werde in der Gestalt

$nU(u,\,v\,\ldots )$

angenommen, wo $n$ eine positive ganze rationale Zahl und $U$ eine ganze rationale Funktion bedeutet, deren Koeffizienten ganze rationale Zahlen ohne gemeinsamen Teiler sind. $n$ heißt die Norm der Form $F$. Wenn die Norm $n$ einer Form gleich $1$ ist, so heißt die Form eine Einheitsform. Eine ganze Funktion, deren Koeffizienten ganze rationale Zahlen ohne gemeinsamen Teiler sind, heißt eine rationale Einheitsform. Zwei Formen heißen einander inhaltsgleich^[1] (in Zeichen $\simeq$), wenn ihr Quotient gleich dem Quotienten zweier Einheitsformen ist. Insbesondere ist jede Einheitsform $\simeq 1$. Eine Form $H$ heißt durch die Form $F$ teilbar, wenn eine Form $G$ existiert, derart, daß $H\simeq FG$ ist. Eine Form $P$ heißt eine Primform, wenn $P$ im Sinne der Inhaltsgleichheit durch keine andere Form außer durch $l$ und durch sich selbst teilbar ist.

Die Beziehung der Kroneckerschen Formentheorie zur Theorie der Ideale wird klar durch die Bemerkung, daß aus jedem Ideal ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$ eine Form $F$ gebildet werden kann, indem man die Zahlen $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ mit beliebigen voneinander verschiedenen Produkten aus Potenzen der Unbestimmten $u$, $v$, … multipliziert und zueinander addiert. Umgekehrt liefert eine jede Form $F$ mit den Koeffizienten $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ ein Ideal ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$. Dieses Ideal ${\mathfrak {a}}$ nenne ich den Inhalt der Form $F$. Dann gilt folgende Tatsache:

Satz 13. Der Inhalt des Produktes zweier Formen ist gleich dem Produkte ihrer Inhalte.

Beweis: Es seien $F$ und $G$ Formen mit beliebigen Veränderlichen und den Koeffizienten $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ bezüglich $\beta _{1}$, …, $\beta _{s}$, und es sei das Produkt $H=FG$ eine Form mit den Koeffizienten $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{t}$. Ferner sei ${\mathfrak {p}}^{a}$ die höchste in ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$ und ${\mathfrak {p}}^{b}$ die höchste in ${\mathfrak {b}}=(\beta _{1},\,\ldots ,\,\beta _{s})$ aufgehende Potenz des Primideals ${\mathfrak {p}}$. Man denke sich ferner die Glieder der beiden Formen $F$ und $G$ zunächst nach absteigenden Potenzen von $u$ und dann die mit der nämlichen Potenz von $u$ multiplizierten Glieder nach absteigenden Potenzen von $v$ geordnet usf. Bei dieser Anordnung sei $\alpha u^{h}v^{l}$ … das erste in $F$ vorkommende Glied, dessen Koeffizient $\alpha$ durch keine höhere als die $a$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$, und andererseits sei $\beta u^{h'}v^{l'}$ … das erste in $G$ vorkommende Glied, dessen Koeffizient $\beta$ durch keine höhere als die $b$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$ teilbar ist: dann ist offenbar der Koeffizient $\gamma$ des Gliedes $\gamma u^{h+h'}v^{l+l'}$ … in $H$ durch keine höhere als die $(a+b)$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$ teilbar. Alle übrigen Koeffizienten von $H$ sind aber gewiß auch durch ${\mathfrak {p}}^{a+b}$ teilbar. Somit folgt die Behauptung $(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})(\beta _{1},\,\ldots ,\,\beta _{s})=(\gamma _{1},\,\ldots ,\,\gamma _{t})$.

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1. Nach Kronecker „äquivalent in engeren Sinne“.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 78. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/95&oldid=- (Version vom 31.7.2018)