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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/93

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sämtlich durch die ganze Zahl teilbar sind, so ist auch jede der Zahlen , , …, , , … durch teilbar [Kronecker (19[1]), Dedekind (7[2]), Mertens (1[3]), Hurwitz (1[4], 2[5])].

Aus diesem Hilfssatze ergeben sich leicht der Reihe nach die Sätze [Hurwitz (1[4])]:

Satz 8. Zu jedem vorgelegten Ideale läßt sich stets ein Ideal so finden, daß das Produkt ein Hauptideal wird.

Beweis: Setzt man

und

     ,

wo die zu konjugierten Zahlen sind und bildet

,

wo , , … ganze Zahlen des Körpers sind, so ist , wo eine ganze rationale Zahl und eine ganzzahlige Funktion bedeutet, deren Koeffizienten keinen gemeinsamen Teiler haben. Hieraus folgt, daß nach dem Produkt der beiden Ideale und ist. Der Hilfssatz 2 lehrt ferner, daß auch umgekehrt jede Zahl sich durch teilen läßt. Es ist daher .

Satz 9. Wenn die drei Ideale , , der Gleichung genügen, wobei , so ist .

Beweis: Es sei ein Ideal von der Art, daß ein Hauptideal () wird. Aus der Voraussetzung folgt oder und mithin .

Satz 10. Wenn alle Zahlen eines Ideals nach dem Ideal sind, so ist durch teilbar.

Beweis: Ist gleich dem Hauptideal (), so sind alle Zahlen des Ideals durch teilbar, und mithin gibt es ein Ideal derart, daß wird. Folglich ist , d. h. , und folglich .

Satz 11. Wenn das Produkt zweier Ideale durch das Primideal teilbar ist, so ist wenigstens eines der Ideale und durch teilbar.

Beweis: Wäre nicht durch teilbar, so würde das Ideal (, ) ein von verschiedenes und zugleich in aufgehendes Ideal, d. h. sein; demnach wäre , wo eine Zahl in und eine Zahl in bedeutet, und hieraus ergibt sich durch Multiplikation mit einer beliebigen Zahl in die Beziehung nach . Zufolge der Voraussetzung ist nach und folglich auch nach .

Nunmehr beweist man den Fundamentalsatz 7 der Idealtheorie, wie folgt:

Ist nicht selbst ein Primideal, so sei , wo einen von und verschiedenen Teiler von bedeutet. Ist nun einer der Faktoren und nicht ein Primideal,


  1. [359] Zur Theorie der Formen höherer Stufen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1883.[WS 1]
  2. [356] Über einen arithmetischen Satz von Gauss. Mitt. dtsch. math. Ges. Prag 1892[WS 2] und: Über die Begründung der Idealtheorie. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1895.[WS 3]
  3. [360] Über einen algebraischen Satz. Ber. K. Akad. Wiss. Wien 1892.[WS 4]
  4. a b [358] Über die Theorie der Ideale. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1894.[WS 5]
  5. [358] Über einen Fundamentalsatz der arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1895.[WS 6]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kronecker, Leopold: Zur Theorie der Formen höherer Stufen, in: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin der Wissenschaften zu Berlin, 1883, Bd. 2, S. 957–960 Berlin-Brandenburgische Akademie
  2. Dedekind, Richard: Über einen arithmetischen Satz von Gauß, in: Mittheilungen der Deutschen Mathematischen Gesellschaft in Prag, 1892, S. 1–11 GDZ Göttingen
  3. Dedekind, Richard: Ueber die Begründung der Idealtheorie, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1895, S. 106–113 GDZ Göttingen
  4. Mertens, Franz: Über einen algebraischen Satz, in: Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien – mathematisch-naturwissenschaftliche Classe, Bd. 101 (1892), S. 1560-1566 landesmuseum.at und Bd. 106,2 (1897) S. 422–430 landesmuseum.at
  5. Hurwitz, Adolf: Ueber die Theorie der Ideale, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1894, S. 291–298 GDZ Göttingen
  6. Hurwitz, Adolf: Ueber einen Fundamentalsatz der arithmetischen Theorie der allgebraischen Grössen, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1895, S. 230–240 GDZ Göttingen
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 76. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/93&oldid=- (Version vom 21.1.2022)