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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/75

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und des Körpers . Der letztere Umstand widersprieht unserer Annahme.

Um die Richtigkeit des Satzes 4 für zu erkennen, machen wir zunächst die Annahme und wenden dann auf den zyklischen Körper vom 4-ten Grade den Satz 1 an. Gemäß der dort gebrauchten Bezeichnungsweise setzen wir und wählen . Dann ist . Es sei der quadratische Unterkörper von und eine in der Diskriminante von aufgehende Primzahl, welche nach ist. Infolgedessen ist in unzerlegbar. Ist nun die durch Satz 1 in unserem Falle bestimmte Zahl durch teilbar, so bilde man die Zahl . Da nach Satz 1 andererseits sein soll, wo in liegt, so folgt d. h. . Infolgedessen ist das Quadrat einer Zahl in ; wir setzen , wo eine ganze algebraische zu prime Zahl und eine ganze rationale Zahl bedeutet. Da der Körper mit dem Körper übereinstimmt und da andererseits die Partialdiskriminante der Zahl in bezug auf zu prim ist, so ist auch die Partialdiskriminante des Körpers in bezug auf prim zu , und hieraus folgt, wie vorhin, daß die Diskriminante von nicht durch teilbar sein kann.

Ist im Falle der Exponent , so setzen wir . Wäre dann die in der Diskriminante von aufgehende Primzahl nach und nach und ist ein idealer Primfaktor von in , so bleibt ungeändert bei der Substitution , wo entweder oder ist; folglich wird . Wegen nach gilt eine Gleichung von der Gestalt

und aus dieser schließen wir, wie vorhin bei ungeradem , auf einen Widerspruch mit der Annahme, wonach in der Diskriminante von aufgeht.

Satz 5. Wenn die Diskriminante eines zyklischen Körpers von dem ungeraden Primzahlgrade gleich einer positiven Potenz von ist, so stimmt der Körper mit dem Körper überein. Wenn ferner ein zyklischer Körper , dessen Grad eine höhere als die erste Potenz der ungeraden Primzahl ist, den Kreiskörper als Unterkörper enthält, so stimmt der Körper mit dem Körper überein.

Beweis. Wir benutzen die in Satz 2 erklärte Bezeichnungsweise und setzen überdies ; es ist dann ein Primideal in und es wird im Sinne der Idealtheorie

;

endlich gilt die Kongruenz

.
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 58. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/75&oldid=- (Version vom 31.7.2018)