Wir betrachten nun die in Satz 2 konstruierte Zahl
. Da das Primideal
in
vom ersten Grade ist, so folgt, wenn
gesetzt wird, für diese Zahl die Kongruenz
nach
. Wir setzen
nach
, wo
eine ganze rationale Zahl bedeutet; dann ist
nach
. Nunmehr führen wir den Nachweis dafür, daß im Körper
eine Zahl
gefunden werden kann, so daß die Kongruenz
nach
besteht. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es sei
der größte Exponent von der Beschaffenheit, daß bei geeigneter Wahl der in
liegenden Zahl
die Kongruenz
nach
stattfindet und es sei unserer Behauptung entgegen
nicht durch
teilbar, d. h. es sei
; wir setzen demgemäß
nach
, wo
eine nicht durch
teilbare ganze rationale Zahl bedeutet, und unterscheiden 2 Fälle, je nachdem
durch
teilbar ist oder nicht. Im ersten Falle gilt die Kongruenz
|
,
|
und mithin ist
|
, .
|
Diese Kongruenz widerstreitet der Annahme, wonach
der größte Exponent dieser Art sein sollte. Im zweiten Falle berücksichtigen wir, daß nach Satz 2
und folglich auch
die
-te Potenz einer Zahl in
ist; wir setzen etwa
, wo
eine Zahl des Körpers
ist. Dieser Umstand liefert die Kongruenz
nach
. Da
und nicht durch
teilbar ist, so würde hieraus
nach
folgen, was ebenfalls unmöglich ist, da
Primitivzahl nach
sein soll. Diese Betrachtung lehrt also
, womit unsere Behauptung bewiesen ist.
Wir setzen nun
, wo
eine ganze algebraische Zahl mit der Kongruenzeigenschaft
nach
ist und
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Nehmen wir dann an, der Körper
sei von dem Körper
verschieden, so wäre der aus
,
und
zusammengesetzte Körper
vom Grade
. Es ist andererseits
gleich einer ganzen Zahl des Körpers
und die Partialdiskriminante dieser Zahl in bezug auf
ist gleich
, wo
eine Einheit ist. Da
zu
prim ist, so ist mithin die Partialdiskriminante des Körpers
in bezug auf den Körper
ebenfalls prim zu
. Bezeichnen wir daher mit
einen idealen Primfaktor von
im Körper
, so besitzt
in diesem Körper einen Trägheitskörper
, welcher mindestens den Grad
hat. Die Diskriminante dieses Trägheitskörpers
ist prim zu u.