Zähler und Nenner keinen der Primfaktoren
,
,
, … enthalten und daher zu
prim sind; das gleiche gilt somit von der Zahl
. Wir setzen
, wo
eine ganze algebraische zu
prime Zahl und
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Der Körper
wird mithin auch durch die beiden Zahlen
und
bestimmt. Die Partialdiskriminante der Zahl
ist in bezug auf
, und da
zu
prim ist, so ist mithin die Partialdiskriminante von
in bezug auf
prim zu
. Da andrerseits die Diskriminante von
nicht durch
teilbar ist, so ist auch die Diskriminante von
und folglich auch die Diskriminante des Körpers
prim zu
, was unserer Annahme widerspricht.
In ähnlicher Weise schließen wir die Richtigkeit unseres Satzes bei ungeradem
, wenn der Exponent
beliebig angenommen wird. Wir setzen unter Beibehaltung der in Satz 1 angewandten Bezeichnungsweise
und
, wo
eine Primitivzahl nach
bedeuten möge. Es sei
ein idealer Primfaktor der in der Diskriminante von
, aufgehenden Primzahl
in
. Nehmen wir
nach
an, so liegt, wie die Theorie des Kreiskörpers
lehrt, das Primideal
jedenfalls auch in dem Unterkörper
, d. h. es ist
und ebenso gelten für die zu
in
konjugierten Primideale
, … die Gleichungen
, …. Da
Primitivzahl nach
ist, so wird
nach
und mithin lassen sich 3 ganze ganzzahlige Funktionen
,
,
der Variablen
derart bestimmen, daß
|
|
ist; hieraus folgt insbesondere, wenn
die in Satz 1 bestimmte Zahl bedeutet
|
,
|
wo
eine Zahl in
bedeutet. Wegen der vorhin bewiesenen Eigenschaft der Primideale
,
, … ist
und folglich auch
eine Zahl, deren Zähler und Nenner zu
prim ausfallen. Wir können daher die letztere Zahl
setzen, wo
eine ganze algebraische zu
prime Zahl und
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Es ist folglich
, und daraus ergibt sich
, wo
ebenfalls in
liegt. Da der durch
und
bestimmte Körper mit demjenigen Körper identisch ist, welcher durch Zusammensetzung aus
und
entsteht, und da die Partialdiskriminante der Zahl
in bezug auf
den zu
primen Wert
besitzt, so ist die Partialdiskriminante des Körpers
in bezug auf
prim zu
. Andererseits ist die Diskriminante von
ebenfalls nicht durch
teilbar, und folglich gilt das gleiche auch von den Diskriminanten des Körpers