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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/73

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daher nur solche Primteiler, welche in der Diskriminante des Körpers aufgehen und verschieden von sind. Es handelt sich nun darum, ob in der Diskriminante von noch eine Primzahl mit der Kongruenzeigenschaft nach enthalten ist. In diesem Falle wenden wir das nämliche Verfahren auf den Körper an und gelangen so zu einem zyklischen Körper vom -ten Grade, welcher folgende Eigenschaften besitzt: der aus und einem gewissen zyklischen Kreiskörper zusammengesetzte Körper enthält als Unterkörper und die Diskriminante des Körpers enthält nur solche Primzahlen, welche in der Diskriminante des Körpers aufgehen und von und verschieden sind. Die wiederholte Anwendung des Verfahrens führt schließlich auf einen Körper von der im Satze verlangten Beschaffenheit.

Satz 4. Wenn ein zyklischer Körper ist, dessen Grad die Potenz einer beliebigen geraden oder ungeraden Primzahl ist und wenn den Unterkörper -ten Grades von bezeichnet, so besitzen sämtliche von verschiedenen Primteiler der Diskriminante von die Kongruenzeigenschaft nach .

Beweis. Zunächst betrachten wir den Fall, daß eine ungerade Primzahl und ist. Es sei dann im Gegensatz zu unserer Behauptung eine rationale in der Diskriminante von aufgehende Primzahl, welche nach ist. Ferner bezeichne den durch bestimmten Körper, und es sei in eine Primitivzahl nach . Ist ein idealer Primfaktor von in , so ist das Primideal wegen nach , wie die Theorie des Kreiskörpers lehrt, zugleich ein Primideal in einem Unterkörper von , und es gibt mithin eine Potenz der Substitution , deren Exponent ist und für welche dennoch oder wird. Desgleichen gelten auch für die zu konjugierten Primideale , , … die entsprechenden Gleichungen , , …. Nach Satz 1 gibt es eine ganze Zahl in , so daß die beiden Zahlen und den aus und zusammengesetzten Körper bestimmen und für welche obenein gleich der -ten Potenz einer Zahl in wird. Da und zwei ganze ganzzahlige Funktionen von sind, welche im Sinne der Kongruenz nach keinen gemeinsamen Faktor heben, so gibt es 3 ganze ganzzahlige Funktionen , , der Veränderlichen , so daß

ist und hieraus folgt

,

wo eine Zahl in ist. Wegen der vorhin bewiesenen Gleichung für die Primideale , , , … ist eine ganze oder gebrochene Zahl, deren

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 56. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/73&oldid=- (Version vom 31.7.2018)