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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 6

daher nur solche Primteiler, welche in der Diskriminante des Körpers $L_{h}$ aufgehen und verschieden von $p$ sind. Es handelt sich nun darum, ob in der Diskriminante von $L_{h}'$ noch eine Primzahl $q$ mit der Kongruenzeigenschaft $q\equiv 1$ nach $l^{h}$ enthalten ist. In diesem Falle wenden wir das nämliche Verfahren auf den Körper $L_{h}'$ an und gelangen so zu einem zyklischen Körper $L_{h}''$ vom $l^{h''}$-ten Grade, welcher folgende Eigenschaften besitzt: der aus $L_{h}''$ und einem gewissen zyklischen Kreiskörper $Q_{h}$ zusammengesetzte Körper enthält $L_{h}'$ als Unterkörper und die Diskriminante des Körpers $L_{h}''$ enthält nur solche Primzahlen, welche in der Diskriminante des Körpers $L_{h}$ aufgehen und von $p$ und $q$ verschieden sind. Die wiederholte Anwendung des Verfahrens führt schließlich auf einen Körper $M_{h}$ von der im Satze verlangten Beschaffenheit.

Satz 4. Wenn $L_{h}$ ein zyklischer Körper ist, dessen Grad $l^{h}$ die Potenz einer beliebigen geraden oder ungeraden Primzahl $l$ ist und wenn $L_{1}$ den Unterkörper $l$-ten Grades von $L_{h}$ bezeichnet, so besitzen sämtliche von $l$ verschiedenen Primteiler $p$ der Diskriminante von $L_{1}$ die Kongruenzeigenschaft $p\equiv 1$ nach $l^{h}$.

Beweis. Zunächst betrachten wir den Fall, daß $l$ eine ungerade Primzahl und $h=1$ ist. Es sei dann im Gegensatz zu unserer Behauptung $p$ eine rationale in der Diskriminante von $L_{1}$ aufgehende Primzahl, welche $\equiv \!\!\!\!\!|\,\,\,1$ nach $l$ ist. Ferner bezeichne $k(\vartheta )$ den durch $\textstyle \vartheta =e^{\frac {2i\pi }{l}}$ bestimmten Körper, und es sei in $t=(\vartheta :\vartheta ^{r})r$ eine Primitivzahl nach $l$. Ist ${\mathfrak {p}}$ ein idealer Primfaktor von $p$ in $k(\vartheta )$, so ist das Primideal ${\mathfrak {p}}$ wegen $p\equiv \!\!\!\!\!|\,\,\,1$ nach $l$, wie die Theorie des Kreiskörpers $k(\vartheta )$ lehrt, zugleich ein Primideal in einem Unterkörper von $k(\vartheta )$, und es gibt mithin eine Potenz $t^{m}$ der Substitution $t$, deren Exponent $m<l-1$ ist und für welche dennoch $t^{m}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}$ oder ${\mathfrak {p}}^{t^{m}-1}=1$ wird. Desgleichen gelten auch für die zu ${\mathfrak {p}}$ konjugierten Primideale ${\mathfrak {p}}'$, ${\mathfrak {p}}''$, … die entsprechenden Gleichungen ${\mathfrak {p}}'^{t^{m}-1}=1$, ${\mathfrak {p}}''^{t^{m}-1}=1$, …. Nach Satz 1 gibt es eine ganze Zahl $\varkappa$ in $k(\vartheta )$, so daß die beiden Zahlen $\vartheta$ und ${\sqrt[{l}]{\varkappa }}$ den aus $k(\vartheta )$ und $L_{1}$ zusammengesetzten Körper $k(\vartheta ,\,L_{1})$ bestimmen und für welche obenein $\varkappa ^{t-r}$ gleich der $l$-ten Potenz einer Zahl in $k(\vartheta )$ wird. Da $t-r$ und $t^{m}-1$ zwei ganze ganzzahlige Funktionen von $t$ sind, welche im Sinne der Kongruenz nach $l$ keinen gemeinsamen Faktor heben, so gibt es 3 ganze ganzzahlige Funktionen $\varphi (t)$, $\psi (t)$, $\chi (t)$ der Veränderlichen $t$, so daß

$1=(t^{m}-1)\varphi (t)+(t-r)\psi (t)+l\chi (t)$

ist und hieraus folgt

$\varkappa =\varkappa ^{(t^{m}-1)\varphi (t)+(t-r)\psi (t)+l\chi (t)}=\varkappa ^{(t^{m}-1)\varphi (t)}\alpha ^{l}$,

wo $\alpha$ eine Zahl in $k(\vartheta )$ ist. Wegen der vorhin bewiesenen Gleichung für die Primideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}'$, ${\mathfrak {p}}''$, … ist $\varkappa ^{t^{m}-1}$ eine ganze oder gebrochene Zahl, deren

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 56. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/73&oldid=- (Version vom 31.7.2018)