daher nur solche Primteiler, welche in der Diskriminante des Körpers
aufgehen und verschieden von
sind. Es handelt sich nun darum, ob in der Diskriminante von
noch eine Primzahl
mit der Kongruenzeigenschaft
nach
enthalten ist. In diesem Falle wenden wir das nämliche Verfahren auf den Körper
an und gelangen so zu einem zyklischen Körper
vom
-ten Grade, welcher folgende Eigenschaften besitzt: der aus
und einem gewissen zyklischen Kreiskörper
zusammengesetzte Körper enthält
als Unterkörper und die Diskriminante des Körpers
enthält nur solche Primzahlen, welche in der Diskriminante des Körpers
aufgehen und von
und
verschieden sind. Die wiederholte Anwendung des Verfahrens führt schließlich auf einen Körper
von der im Satze verlangten Beschaffenheit.
Satz 4. Wenn
ein zyklischer Körper ist, dessen Grad
die Potenz einer beliebigen geraden oder ungeraden Primzahl
ist und wenn
den Unterkörper
-ten Grades von
bezeichnet, so besitzen sämtliche von
verschiedenen Primteiler
der Diskriminante von
die Kongruenzeigenschaft
nach
.
Beweis. Zunächst betrachten wir den Fall, daß
eine ungerade Primzahl und
ist. Es sei dann im Gegensatz zu unserer Behauptung
eine rationale in der Diskriminante von
aufgehende Primzahl, welche
nach
ist. Ferner bezeichne
den durch
bestimmten Körper, und es sei in
eine Primitivzahl nach
. Ist
ein idealer Primfaktor von
in
, so ist das Primideal
wegen
nach
, wie die Theorie des Kreiskörpers
lehrt, zugleich ein Primideal in einem Unterkörper von
, und es gibt mithin eine Potenz
der Substitution
, deren Exponent
ist und für welche dennoch
oder
wird. Desgleichen gelten auch für die zu
konjugierten Primideale
,
, … die entsprechenden Gleichungen
,
, …. Nach Satz 1 gibt es eine ganze Zahl
in
, so daß die beiden Zahlen
und
den aus
und
zusammengesetzten Körper
bestimmen und für welche obenein
gleich der
-ten Potenz einer Zahl in
wird. Da
und
zwei ganze ganzzahlige Funktionen von
sind, welche im Sinne der Kongruenz nach
keinen gemeinsamen Faktor heben, so gibt es 3 ganze ganzzahlige Funktionen
,
,
der Veränderlichen
, so daß
|
|
ist und hieraus folgt
|
,
|
wo
eine Zahl in
ist. Wegen der vorhin bewiesenen Gleichung für die Primideale
,
,
, … ist
eine ganze oder gebrochene Zahl, deren