bestimmt ist. Bezeichnet ferner
eine Primitivzahl nach
und wird
gesetzt, so besitzt die Zahl
obenein die Eigenschaft, daß
die
-te Potenz einer Zahl des Körpers
wird.
Beweis. Ist
eine den Körper
bestimmende, ganze algebraische Zahl und sind
,
,
, …,
die Substitutionen der Gruppe von
, so setze man
und
|
.
|
Der Körper
enthält offenbar den Körper
als Unterkörper, und zwar sind die Zahlen dieses Unterkörpers
dadurch charakterisiert, daß sie bei der Substitution
ungeändert bleiben. Wegen
ist somit
eine Zahl in
. Es sei nun
eine solche Substitution der Gruppe des Körpers
, daß
wird; dann ist
; da mithin der Ausdruck
bei der Substitution
ungeändert bleibt, so ist
eine Zahl in
und folglich wird
die
-te Potenz einer solchen Zahl. Der Kürze halber ist hier wiederum von der symbolischen Schreibweise
Gebrauch gemacht.
Satz 3. Wenn
ein beliebiger zyklischer Körper ist, dessen Grad
die Potenz einer beliebigen geraden oder ungeraden Primzahl ist, so kann man stets einen zyklischen Körper
vom Grade
, wo
ist, und mit folgenden beiden Eigenschaften finden. Erstens: der aus
und einem gewissen Kreiskörper
zusammengesetzte Körper enthält
als Unterkörper und zweitens: in der Diskriminante von
geht keine rationale Primzahl
mit der Kongruenzeigenschaft
nach
auf.
Beweis. Ist
eine rationale Primzahl, welche die Kongruenzeigenschaft
nach
besitzt und welche in der Diskriminante des Körpers
aufgeht, so konstruiere man den zyklischen Kreiskörper
vom Grade
, dessen Diskriminante eine Potenz von
ist, und betrachte den aus
und
zusammengesetzten Körper
vom
-ten Grade. In
ist
, wo
ein Primideal in
bedeutet. Es sei
ein in
aufgehendes Primideal des Körpers
. Da das Primideal
in der Gradzahl
des Körpers
nicht aufgeht, so ist dieser Körper
als Verzweigungskörper des Primideals
relativ zyklisch, und zwar mindestens vom Relativgrade
in bezug auf den Trägheitskörper
des Primideals
. Da ferner zyklische Körper von höherem als dem
-ten Grade in
nicht vorkommen, so hat
genau den Relativgrad
in bezug auf
. Hieraus folgt, daß der Trägheitskörper
vom Grade
ist; dieser Körper
ist überdies zyklisch, da sonst, wie die Lehre von den Abelschen Gruppen zeigt, der Körper
nicht relativ zyklisch in bezug auf
sein könnte. Das Grundideal des Trägheitskörpers
ist nicht durch
und daher auch die Diskriminante von
nicht durch
teilbar; diese Diskriminante enthält