Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/55

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

beweisen leicht den Satz, daß es im Körper $K$ keine weiteren ambigen Ideale gibt. Ware nämlich ${\mathfrak {J=PQ\ldots R}}$, wo ${\mathfrak {P}}$, ${\mathfrak {Q}}$, …, ${\mathfrak {R}}$ Primideale sind, ein ambiges Ideal, so müßten wegen ${\mathfrak {J}}=S{\mathfrak {J}}$ die Primideale $S{\mathfrak {P}}$, $S{\mathfrak {Q}}$, …, $S{\mathfrak {R}}$ in einer gewissen Reihenfolge genommen, mit ${\mathfrak {P}}$, ${\mathfrak {Q}}$, …, ${\mathfrak {R}}$ übereinstimmen. Wenn etwa $S{\mathfrak {P}}={\mathfrak {Q}}$ sich ergeben würde, so enthielte ${\mathfrak {J}}$ den Faktor ${\mathfrak {P}}S{\mathfrak {P}}$, welcher gleich einer ganzen imaginären Zahl ist, und da dieser Umstand der Voraussetzung widerspricht, so folgt ${\mathfrak {P}}=S{\mathfrak {P}}$ und ebenso ${\mathfrak {Q}}=S{\mathfrak {Q}}$, …, ${\mathfrak {R}}=S{\mathfrak {R}}$, d. h. die Ideale ${\mathfrak {P}}$, ${\mathfrak {Q}}$, …,${\mathfrak {R}}$ sind sämtlich ambige Primideale, und da das Quadrat eines solchen Ideals einer ganzen imaginären Zahl gleich wird, so schließen wir zugleich, daß die Ideale ${\mathfrak {P}}$, ${\mathfrak {Q}}$, …,${\mathfrak {R}}$ notwendig untereinander verschieden sind. Wir sprechen das gewonnene Resultat in folgendem Satze aus:

Satz 1. Die $s$ in der Partialdiskriminante $d$ aufgehenden Primideale ${\mathfrak {L}}_{1}$, …, ${\mathfrak {L}}_{s}$ und nur diese sind ambige Primideale. Die $2^{s}$ aus diesen zu bildenden Produkte ${\mathfrak {A}}=\Pi {\mathfrak {L}}$ machen die Gesamtheit aller ambigen Ideale des Körpers $K$ aus.

§ 6. Die ambigen Klassen.

Wenn ${\mathfrak {J}}$ ein Ideal der Klasse $C$ ist, so werde diejenige Idealklasse, welcher das Ideal $S{\mathfrak {J}}$ angehört, mit $SC$ bezeichnet. Ist insbesondere $C=SC$, so heißt die Idealklasse $C$ ambig. Da das Produkt ${\mathfrak {J}}\cdot S{\mathfrak {J}}$ äquivalent $1$ ist, so wird $C\cdot SC=1$ und folglich ist das Quadrat einer jeden ambigen Klasse gleich der Hauptklasse 1. Umgekehrt, wenn das Quadrat einer Klasse $C$ gleich $1$ ist, so wird $\textstyle C={\frac {1}{C}}=SC$ und folglich ist $C$ eine ambige Klasse.

Es entsteht nun die Aufgabe, alle ambigen Klassen aufzustellen. Da offenbar ein jedes ambige Ideal ${\mathfrak {J}}$ vermöge seiner Eigenschaft ${\mathfrak {J}}=S{\mathfrak {J}}$ einer ambigen Klasse angehört, so haben wir vor allem zu untersuchen, wie viele voneinander verschiedene ambige Klassen aus den $2^{s}$ ambigen Idealen entspringen.

Das Produkt aller in $\delta$ aufgehenden Ideale ${\mathfrak {L}}$ ist gleich ${\sqrt {\delta }}$ und mithin ein Hauptideal. Wir bestimmen nun im Körper $K$ eine Grundeinheit ${\mathsf {E}}$, d. h. eine Einheit von der Beschaffenheit, daß jede andere Einheit des Körpers gleich $\varrho {\mathsf {E}}^{m}$ wird, wo $\varrho$ eine Einheitswurzel und $m$ eine positive oder negative ganze Zahl bedeutet. Da die irreduzible Gleichung, welcher $\varrho$ genügt, notwendig vom 2-ten oder 4-ten Grade sein muß, so kann $\varrho$ nur eine 2-te, 3-te, 4-te, 5-te oder 8-te Einheitswurzel oder eine aus diesen zusammengesetzte Einheitswurzel sein. Die 3-te Einheitswurzel kommt im Körper $K$ nur vor, wenn $\delta =3$ ist. Es kann ferner leicht gezeigt werden, daß die 5-te Einheitswurzel im Körper $K$ niemals vorkommt. Die 8-te Einheitswurzel endlich kommt im Körper $K$ vor, falls $\delta =i$ ist. Die beiden Fälle $\delta =3$ und $\delta =i$ werden unten für sich besonders erledigt und bei der nachfolgenden allgemeinen Untersuchung ausgeschlossen, so daß nunmehr $\varrho$ lediglich $=\pm 1$ oder $=\pm i$ sein kann.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 38. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/55&oldid=- (Version vom 31.7.2018)