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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

Die Grundeinheit ${\mathsf {E}}$ ist bis auf einen Faktor $\varrho$ völlig bestimmt. Die Entscheidung darüber, ob im Körper $K$ außer $1$ und ${\sqrt {\varrho }}$ noch ein anderes ambiges Hauptideal vorhanden ist, hängt lediglich davon ab, ob $\nu ({\mathsf {E}})=\pm 1$ oder $=\pm i$ ausfällt.

Um dies zu erkennen, nehmen wir zunächst $\nu ({\mathsf {E}})=\pm 1$ an. Da es freisteht, $i{\mathsf {E}}$ an Stelle von ${\mathsf {E}}$ als Grundeinheit zu wählen, so können wir annehmen, daß $\nu ({\mathsf {E}})=+1$ wird. Wir setzen^[1] $1+{\mathsf {E}}=\alpha {\mathsf {A}}$, wo $\alpha$ eine ganze imaginäre Zahl und ${\mathsf {A}}$ eine ganze Zahl des Körpers $K$ bedeutet, welche durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar ist. Aus der Gleichung $\textstyle {\frac {\mathsf {A}}{S{\mathsf {A}}}}={\mathsf {E}}$ ergibt sich, daß ${\mathsf {A}}$ ein ambiges Hauptideal ist. Dieses Hauptideal ${\mathsf {A}}$ ist ferner verschieden von $1$ und von ${\sqrt {\delta }}$. Wäre nämlich ${\mathsf {A}}=\varrho {\mathsf {E}}^{m}$ oder $=\varrho {\mathsf {E}}^{m}{\sqrt {\delta }}$, so wäre

${\frac {\mathsf {A}}{S{\mathsf {A}}}}=\pm \left({\frac {\mathsf {E}}{S{\mathsf {E}}}}\right)^{m}=\pm {\mathsf {E}}^{2m}$

und diese Einheit kann nicht gleich ${\mathsf {E}}$ sein, da $m$ eine ganze Zahl bedeutet und ${\mathsf {E}}$ keine Einheitswurzel ist. Ferner ist ersichtlich, daß ein jedes andere ambige Hauptideal des Körpers $K$ aus ${\sqrt {\delta }}$ und ${\mathsf {A}}$ zusammengesetzt werden kann. Ist nämlich ${\mathsf {B}}$ ein beliebiges ambiges Hauptideal, so ist notwendig $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}=\varrho {\mathsf {E}}^{m}$. Aus der Gleichung $\textstyle \nu \left({\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}\right)=+1$ folgt $\varrho =\pm 1$; wir setzen $\varrho =(-1)^{n}$, wo $n$ den Wert $0$ oder $1$ hat; dann genügt die Zahl $\textstyle {\mathsf {\Gamma }}={\mathsf {B}}\left({\sqrt {\varrho }}\right)^{n}{\mathsf {A}}^{-m}$ der Gleichung $\textstyle {\frac {\mathsf {\Gamma }}{S{\mathsf {\Gamma }}}}=+1$ und ist folglich eine Zahl des Körpers $k$, woraus die Behauptung ersichtlich wird.

Ist andrerseits die Partialnorm $\nu ({\mathsf {E}})=i$, so kann es kein von $1$ und ${\sqrt {\delta }}$ verschiedenes ambiges Hauptideal geben. Denn wäre ${\mathfrak {A}}={\mathsf {A}}$ ein solches, so ist notwendigerweise $\textstyle {\frac {\mathsf {A}}{S{\mathsf {A}}}}=\varrho {\mathsf {E}}^{m}$. Da aber $\textstyle \nu \left({\frac {\mathsf {A}}{S{\mathsf {A}}}}\right)=1$ ist, so folgt notwendigerweise $[\nu ({\mathsf {E}})]^{m}=\pm 1$ und daher muß $m$ eine gerade Zahl sein. Wegen $\textstyle {\mathsf {E}}^{2}={\frac {i{\mathsf {E}}}{S{\mathsf {E}}}}$ würde dann die Zahl $\textstyle {\mathsf {B}}={\mathsf {A}}{\mathsf {E}}^{-{\frac {m}{2}}}$ der Gleichung $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}=\varrho$ genügen und da $\textstyle \nu \left({\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}\right)=+1$ ist, so folgt $\varrho =\pm 1$. Berücksichtigen wir, daß ${\mathsf {B}}$ durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar sein darf, so hat die Annahme $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}=+1$ notwendig ${\mathsf {B}}=\varrho$ und die Annahme $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}=-1$ notwendig ${\mathsf {B}}=\varrho {\sqrt {\delta }}$ zur Folge, womit die Behauptung bewiesen ist.

Wir drücken nun eines der $s$ ambigen Primideale durch die $s-1$ übrigen ambigen Primideale und durch ${\sqrt {\delta }}$ und ferner, wenn die Partialnorm der

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1. Die linke Seite dieses Ansatzes ist ein besonderer Fall des von Kummer im J. Math. 50, 212 (1855) behandelten Ausdruckes.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 39. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/56&oldid=- (Version vom 31.7.2018)