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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

$\nu '$ absolut genommen und ins Quadrat erhoben $<{\sqrt {6}}|\delta |$ ausfällt. Da ${\sqrt {6}}<|\delta |$ ist, so wird $|\nu '|<|\delta |$. Da andrerseits $\nu '$ die Partialnorm eines Ideals in $K_{\delta }$ ist, deren Charakterensystem aus lauter positiven Einbeiten besteht, so ist nach Satz 1 die ganze imaginäre Zahl $\delta$ in dem durch ${\sqrt {\nu '}}$ bestimmten Körper $K_{\nu '}$ die Partialnorm eines Ideals, deren Charakterensystem aus lauter positiven Einheiten besteht. Nun gilt wegen $|\nu '|<|\delta |$ Satz 3 im Körper $K_{\nu '}$, und es ist daher $\delta$ die Partialnorm einer gewissen ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers $K_{\nu '}$, und hieraus ergibt sich nach Satz 2, daß auch $\nu '$ die Partialnorm einer gewissen Zahl in $K_{\delta }$ ist. Da das Ideal ${\mathfrak {J}}$ äquivalent ${\mathfrak {J}}'$ ist, so ist der Quotient beider Ideale eine Zahl des Körpers $K_{\delta }$, mithin ist der Quotient der Zahlen $\nu$ und $\nu '$ und folglich auch $\nu$ selbst gleich der Partialnorm einer gewissen Zahl des Körpers $K_{\delta }$. Der Satz 3 gilt folglich für den Körper $K_{\delta }$, und wir erkennen daraus seine allgemeine Gültigkeit^[1].

Aus Satz 3 folgt endlich in sehr einfacher Weise der zu Anfang dieses Paragraphen ausgesprochene Satz über die Idealklassen des Hauptgeschlechts. Wenn nämlich ${\mathfrak {J}}$ ein Ideal des Hauptgeschlechts ist, so erfüllt seine Partialnorm $\nu ({\mathfrak {J}})$ – bezüglichenfalls, wenn sie nach der auf S. 31 angegebenen Vorschrift mit dem Einheitsfaktor $i$ versehen ist – alle Bedingungen des Satzes 3. Es gibt daher auf Grund desselben im Körper $K_{\delta }$ eine Zahl ${\mathsf {A}}$ derart, daß $\nu ({\mathfrak {J}})=\nu ({\mathsf {A}})$ wird. Setzen wir ${\tfrac {\mathfrak {J}}{\mathsf {A}}}={\tfrac {\mathfrak {H}}{{\mathfrak {H}}'}}$, wo ${\mathfrak {H}}$ und ${\mathfrak {H}}'$ zueinander prime Ideale sind, so ist notwendigerweise ${\tfrac {{\mathfrak {H}}\cdot S{\mathfrak {H}}}{{\mathfrak {H}}'\cdot S{\mathfrak {H}}'}}=1$ und mithin ${\mathfrak {H}}'=S{\mathfrak {H}}$. Da ${\mathfrak {H}}\cdot S{\mathfrak {H}}$ gleich einer Zahl $\alpha$ des Körpers $k$ gesetzt werden kann, so ergibt sich ${\mathfrak {J}}={\tfrac {\mathsf {A}}{\alpha }}{\mathfrak {H}}^{2}$, d. h. ${\mathfrak {J}}$ ist notwendigerweise dem Quadrat des Ideals ${\mathfrak {H}}$ äquivalent.

§ 5. Die ambigen Ideale.

Ein Ideal ${\mathfrak {J}}$ des Dirichletschen Körpers $K$, welches nach Anwendung der Operation $S$ ungeändert bleibt und keine Zahl des Körpers $k$ als Faktor enthält, werde ein ambiges Ideal genannt. Um alle ambigen Ideale aufzustellen, bezeichnen wir, wie in § 3, die sämtlichen $s$ in der Partialdiskriminante $d$ des Körpers $K$ aufgehenden Primzahlen mit $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{s}$ und setzen $\lambda _{1}={\mathfrak {L}}_{1}^{2}$, …, $\lambda _{s}={\mathfrak {L}}_{s}^{2}$; es sind dann wegen ${\mathfrak {L}}=S{\mathfrak {L}}$ die $s$ Ideale ${\mathfrak {L}}_{1}$, …, ${\mathfrak {L}}_{s}$ ambige Ideale und desgleichen sind die sämtlichen $2^{s}$ Produkte $\textstyle {\mathfrak {A}}=\Pi {\mathfrak {L}}$ ambig, welche aus diesen $s$ Idealen ${\mathfrak {L}}_{1}$, …, ${\mathfrak {L}}_{s}$ gebildet werden können. Wir

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1. Der eben bewiesene Satz 3 liefert zugleich alle Mittel zur Aufstellung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, das die ternäre diophantische Gleichung

   $\alpha \xi ^{2}+\beta \eta ^{2}+\gamma \zeta ^{2}=0$

   mit beliebigen ganzen imaginären Koeffizienten $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ in ganzen imaginären Zahlen $\xi$, $\eta$, $\zeta$ lösbar ist.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 37. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/54&oldid=- (Version vom 31.7.2018)