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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/53

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Wenden wir den von H. Minkowski aufgestellten Satz[1] über die Diskriminante allgemeiner Zahlkörper auf den biquadratischen Dirichletschen Körper an, so erkennen wir, daß es in jeder Idealklasse des Dirichletschen Körpers ein Ideal gibt, dessen Norm absolut genommen kleiner als ausfällt, wo die Diskriminante des Körpers bedeutet. Da aber und ist und da ferner die Norm absolut genommen gleich dem Quadrat des absoluten Betrages der Partialnorm wird, so ergibt sich der Satz, daß in jeder Idealklasse des Körpers ein Ideal gefunden werden kann, für welches ausfällt.

Wir beweisen nun zunächst durch Rechnung, daß der Satz 3 in allen Dirichletschen Körpern gilt, für welche ist. Benutzen wir die soeben aus dem Minkowskischen Satz abgeleitete Ungleichung, so wird dieser Nachweis durch folgende Tabelle geführt, in welcher unter der Rubrik die sämtlichen absolut genommen unter liegenden Werte von und unter der Rubrik die den Bedingungen des Satzes 3 und der Ungleichung genügenden sich angegeben finden, während daneben in der letzten Rubrik die Zahl des Körpers hinzugefügt ist, deren Partialnorm gleich wird.

Es sei jetzt eine ganze imaginäre Zahl, deren absoluter Betrag ausfällt, und wir nehmen an, der Satz 3 sei bereits bewiesen für alle diejenigen Körper , für welche wird. Ist dann die Partialnorm eines Ideals , deren Charakterensystem in aus lauter positiven Einheiten besteht, so bestimme man in ein zu äquivalentes Ideal , dessen Partialnorm


  1. Vgl. Comptes rendus 1891. Für obigen Zweck reicht schon die von H. Minkowski, J. Math. 107, 296 (1891), aufgestellte Ungleichung aus.
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 36. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/53&oldid=- (Version vom 31.7.2018)