Im Hauptfalle IV setzen wir
und
nach
. Es wird dann
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Denselben Wert erhalten wir auch für
, und da das erstere Symbol den Wert
hat, so ist auch
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.
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Die eben vollendete Entwicklung zeigt, daß das Charakterensystem der Zahl
in dem Körper
aus lauter positiven Einheiten besteht.
Andrerseits ist
in
notwendig die Partialnorm eines Ideals; denn wenn
ein von
verschiedener in
nicht auigehender Primfaktor von
ist, so ist, da alle Charaktere von
in bezug auf den Körper
gleich
sein sollen, notwendigerweise
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,
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und daher zerfällt
nach § 2 in zwei Primideale des Körpers
. Ist ferner
in
, aber nicht in der Partialdiskriminante
des Körpers
als Faktor enthalten, so muß
nach
sein, und es ist dann im Unterfalle 1 des Hauptfalles III bewiesen worden, daß
im Körper
zerlegbar ist. Da mithin sämtliche Primfaktoren von
im Körper
zerlegbar sind, so ist
die Partialnorm eines Ideals in
und hiermit ist der Satz 1 vollständig bewiesen.
Satz 2. Wenn
die Partialnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl in dem durch
bestimmten Dirichletschen Zahlkörper
ist, so ist auch
die Partialnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl in dem durch
bestimmten Dirichletschen Zahlkörper
.
Setzen wir nämlich
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,
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wo
und
Zahlen des Körpers
sind, so wird
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,
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d. h. gleich der Partialnorm der in
gelegenen Zahl
.
Satz 3. Wenn
Partialnorm eines Ideals in
ist, und das Charakterensystem von
in
aus lauter positiven Einheiten besteht, so ist
zugleich die Partialnorm einer gewissen ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers
.