in welcher
, …,
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(4)
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wird. Da die Kugel
bei Anwendung dieser Substitution (3) unverändert bleibt, so geht das Integral der Formel (1) nach Einführung der Integrationsvariabeln
, …,
über in
;
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hierin ist offenbar das 5-fache Integral eine von
, …,
unabhängige positive Zahl; setzen wir dieselbe gleich
, so folgt die Formel (1) des Satzes I.
Satz II. Es sei wiederum
eine beliebige positive ganze Zahl, dann gilt identisch in den 5 Variabeln
, …,
eine Formel von der Gestalt
;
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(5)
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dabei ist zur Abkürzung
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gesetzt, ferner bedeuten
, …,
gewisse positive rationale, durch
bestimmte Zahlen und
, …,
gewisse ganze, ebenfalls nur durch
bestimmte Zahlen.
Der Beweis gründet sich auf die in Satz I aufgestellte Integralformel; von der letzteren ausgehend werden wir durch eine Reihe von Schritten schließlich zu der in Satz II behaupteten arithmetischen Identität gelangen.
Der erste Schritt besteht in der Approximation des 5-fachen Integrales
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durch eine endliche Summe. Wir denken uns zu dem Zwecke den 5-dimensionalen Raum der Variabeln
in 5-dimensionale Würfel von der Kantenlänge
zerlegt. Da der Bereich
ganz im Endlichen gelegen ist, so fällt nur eine endliche Anzahl
dieser Würfel ins Innere von
. Bilden wir sodann für den Mittelpunkt eines jeden dieser Würfel den linearen Ausdruck
,
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multiplizieren denselben mit dem Inhalt
des Würfels sowie mit dem positiven Werte von
, so entsteht aus dem Integral eine Summe von der Gestalt
,
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(6)
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wo die
gewisse
lineare Funktionen von
, …,
bedeuten, deren Koeffizienten noch von
abhängen; zugleich gilt die Limesgleichung
.
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