2.
,
sind nicht beide gleichzeitig gerade. Es ist dann
Faktor der Partialdiskriminante
. Setzen wir
, so wird
|
;
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nun ist
|
,
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und eine leichte Rechnung zeigt, daß
|
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wird. Mithin ergibt sich
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.
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Andrerseits ist aber
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,
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und wenn daher jenes erstere Symbol den Wert
hat, so ist auch
|
.
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Im Hauptfall III setzen wir
und
nach
und unterscheiden dann wiederum 2 Unterfälle.
1.
,
sind beide gerade. Unter dieser Bedingung ist
in der Partialdiskriminante
des Körpers
nicht enthalten. Wegen der Voraussetzung wird
|
.
|
Mithin ist
gerade, d. h.
nach
; hieraus folgt nach § 2, daß
im Körper
in zwei Primideale zerlegbar ist.
2.
,
sind nicht beide gleichzeitig gerade. Es ist dann
als Faktor in
enthalten, und es wird
|
.
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Wie vorhin im Unterfalle 2. des Hauptfalles II erhalten wir den nämlichen Wert für das Symbol
, und da das erstere den Wert
hat, so ist auch
|
.
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