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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/50

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In gleicher Weise folgt

,

und da das Symbol nach Voraussetzung den Wert hat, so ist auch

.

Was endlich den Primkaktor betrifft, so unterscheiden wir bei der folgenden Untersuchung zunächst 4 Hauptfälle:

I. Weder noch sind durch teilbar.
II. ist durch teilbar, aber nicht .
III. ist nicht durch teilbar, wohl aber .
IV. Sowohl als auch sind durch teilbar.

Im Hauptfalle I setzen wir und nach und unterscheiden dann 2 Unterfälle:

1. , sind beide gerade. Unter dieser Bedingung kommt nicht in der Partialdiskriminante des Dirichletschen Körpers vor, und es gibt daher im Körper kein auf den Faktor bezügliches Symbol.

2. , sind nicht beide gleichzeitig gerade. Unter dieser Bedingung kommt in vor und es ist

.

Sind , beide gerade, so wird der Wert der rechten Seite . Sind , nicht beide zugleich gerade, so gibt es im Körper ein auf bezügliches Symbol, und zwar ist

Da dieses Symbol wegen der Voraussetzung den Wert hat, so ist auch

.

Im Hauptfalle II setzen wir und nach und unterscheiden dann folgende 2 Unterfälle.

1. , sind gerade. Unter dieser Bedingung kommt nicht in der Partialdiskriminante des Körpers vor. Da nun die Partialnorm eines Ideals in sein soll, so ist notwendigerweise in 2 Primideale des Körpers zerlegbar. Die Bedingung hierfür besteht nach § 2 darin, daß nach ist, und mithin wird

.
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 33. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/50&oldid=- (Version vom 31.7.2018)