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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

insbesondere das Hauptgeschlecht als die Gesamtheit aller derjenigen Klassen, deren Charakterensystem aus lauter positiven Vorzeichen besteht. Da das Charakterensystem der Hauptklasse offenbar von der letzteren Eigenschaft ist, so gehört die Hauptklasse stets zum Hauptgeschlecht.

§ 4. Die Erzeugung der Idealklassen des Hauptgeschlechtes.

Aus derjenigen Eigenschaft des Symbols, welche sich durch die Formel

$\left[{\frac {\sigma \sigma '}{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\sigma }{\lambda :\delta }}\right]\left[{\frac {\sigma '}{\lambda :\delta }}\right]$

ausdrückt, entnehmen wir leicht die Tatsache, daß das Produkt der Idealklassen zweier Geschlechter die Idealklassen eines Geschlechtes liefert, dessen Charakterensystem durch Multiplikation der entsprechenden Charaktere beider Geschlechter erhalten wird. Im besonderen folgt hieraus, daß das Charakterensystem des Quadrats der Idealklasse eines beliebigen Geschlechtes stets aus lauter positiven Einheiten besteht und mithin das Quadrat einer Idealklasse stets dem Hauptgeschlecht angehört. Es ist von Bedeutung, daß die folgende Umkehrung dieses Satzes gilt:

Eine jede Idealklasse des Hauptgeschlechtes ist gleich dem Quadrat einer Idealklasse.

Um die Richtigkeit dieses Satzes zu erkennen, beweisen wir der Reihe nach folgende Sätze.

Satz 1. Wenn $\nu$ in dem durch ${\sqrt {\delta }}$ bestimmten Dirichletschen Körper $K_{\delta }$ die Partialnorm eines Ideals ist und das Charakterensystem von $\nu$ in diesem Körper $K_{\delta }$ aus lauter positiven Einheiten besteht, so ist auch $\delta$ in dem durch ${\sqrt {\nu }}$ bestimmten Dirichletschen Körper $K_{\nu }$ Partialnorm eines Ideals und besitzt in $K_{\nu }$ ein aus lauter positiven Einheiten bestehendes Charakterensystem.

Wir dürfen offenbar annehmen, daß $\nu$ keine quadratischen Faktoren des Körpers $k$ enthält. Da $\nu$ eine Partialnorm sein soll, so muß ein jeder in der Partialdiskriminante $d$ des Körpers $K_{\delta }$ nicht vorkommender Primteiler $\pi$ der Zahl $\nu$ in zwei Primideale des Körpers $K_{\delta }$ zerfallen; es ist somit nach den Entwicklungen von § 2 notwendigerweise $d$ quadratischer Rest von $\pi$, d. h. wenn $\pi$ von $1+i$ verschieden ist:

$\left[{\frac {\delta }{\pi :\nu }}\right]=+1$.

Wir betrachten ferner die von $1+i$ verschiedenen in $d$ aufgehenden Primteiler $\lambda$ der Zahl $\nu$. Es gilt im Körper $K_{\delta }$ die Zerlegung $\lambda ={\mathfrak {L}}^{2}$ und zugleich ist $\lambda +{\sqrt {\delta }}$ eine durch ${\mathfrak {L}}$, aber nicht durch $\lambda$ teilbare Zahl des Körpers $K_{\delta }$. Daher ist, wenn $\nu =\lambda \nu '$, $\delta =\lambda \delta '$ gesetzt wird:

$\left[{\frac {\nu }{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\nu \cdot \nu \left({\frac {1}{\lambda +{\sqrt {\delta }}}}\right)}{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\frac {\nu }{\lambda ^{2}-\delta }}{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\frac {\nu '}{\lambda -\delta '}}{\lambda }}\right]=\left[{\frac {\nu '\delta '}{\lambda }}\right]$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 32. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/49&oldid=- (Version vom 31.7.2018)