sein; die Relativnorm
dieser Zahl ist offenbar von der Gestalt
, wo
eine Einheit in
und
eine ganze Zahl in
bedeutet. Aus der letzten Gleichung folgt, daß für jedes beliebige Primideal
notwendig
und daher auch
sein muß. Es ist nun im ersten Teil des gegenwärtigen Beweises gezeigt worden, daß unter diesen Umständen
stets gleich der Relativnorm einer Zahl in
sein muß; wir setzen
, wo
eine Zahl in
ist. Es folgt dann
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,
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und hiermit ist der Beweis für Satz 65 vollständig erbracht.
§ 44. Die ternäre quadratische Diophantische Gleichung im Körper
.
Den Inhalt des Satzes 65 können wir auch auf folgende Weisen aussprechen:
Satz 66. Wenn
,
beliebige ganze Zahlen
in
bedeuten, so ist die Diophantische Gleichung
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in ganzen oder gebrochenen Zahlen
,
des Körpers
stets dann lösbar, wenn für jedes Primideal
in
die Bedingung
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erfüllt ist.
Satz 67. Wenn
,
irgend zwei beliebige ganze Zahlen des Körpers
bedeuten, so ist die Diophantische Gleichung
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in ganzen oder gebrochenen Zahlen
,
des Körpers
stets dann lösbar, wenn die Kongruenz
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nach jedem Primideal des Körpers
und nach jeder Potenz eines solchen in ganzen Zahlen
,
des Körpers
lösbar ist.
Beweis. Falls
das Quadrat einer ganzen Zahl in
ist, wird jener Diophantischen Gleichung durch
,
genügt. Es sei nun
nicht das Quadrat einer ganzen Zahl in
. Es sei ferner
ein Primideal in
und
eine beliebige Potenz von
; endlich seien
,
ganze Zahlen in
, die der im Satze 67 aufgestellten Kongruenz nach
genügen. Da offenbar
,
nicht beide zugleich durch
teilbar sein können, so dürfen wir annehmen, daß etwa
zu
prim ausfiele: dann ist wegen
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die Zahl
Normenrest des Körpers
nach
und folglich erfüllen die