Wir erkennen wiederum leicht, daß dem soeben definierten Symbol die Eigenschaft
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zukommt, wo
,
beliebige Zahlen des Körpers
sind.
Im folgenden werden die sämtlichen
in der Partialdiskriminante
aufgehenden Primzahlen mit
, …,
bezeichnet. Unser Symbol ordnet dann einer jeden beliebigen Zahl
des Körpers
die
Vorzeichen
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, …,
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zu, welche das Charakterensystem der Zahl
im Dirichletschen Körper
heißen mögen. Um ferner vermittels unseres Symbols einem jeden Ideal
in
ein bestimmtes Vorzeichensystem zuzuordnen, bilden wir
. Dieses Produkt ist gleich einer Zahl
in
; dieselbe werde die Partialnorm des Ideals
genannt. Da diese Partialnorm nur bis auf hinzutretende Einheitsfaktoren bestimmt ist, so bedarf es für unseren Zweck der Unterscheidung zweier Fälle, je nachdem das Charakterensystem des Einheitsfaktors
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, …,
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aus lauter positiven Vorzeichen besteht oder ein negatives Vorzeichen enthält. Im ersteren Falle sind offenbar die
Vorzeichen
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, …,
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für das Ideal
sämtlich eindeutig bestimmt. Das System dieser
Vorzeichen werde das Charakterensystem des Ideals
genannt. Im zweiten Falle nehmen wir an, es sei etwa
; wählen wir dann den Wert der Partialnorm
derart, daß
wird, so sind die
Vorzeichen
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, …,
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sämtlich durch
eindeutig bestimmt und heißen das Charakterensystem des Ideals
.
Die Ideale derselben Klasse besitzen notwendig das gleiche Charakterensystem.
Ist nämlich
mit
äquivalent, so gibt es in
eine ganze oder gebrochene Zahl
derart, daß
ist. Hieraus folgt
und daher wird
.
Auf die dargelegte Weise ist einer jeden Idealklasse ein bestimmtes Charakterensystem zugeordnet. Wir rechnen nun alle diejenigen Idealklassen, welche das gleiche Charakterensystem besitzen, in ein Geschlecht und definieren