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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/488

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genügt. Mit Rücksicht auf Satz 43 gibt es dann in eine ganze Zahl derart, daß das Hauptideal gleich wird und das Produkt kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach ausfällt. Ferner läßt sich, wie leicht mit Rücksicht auf Satz 4, 6 und 8 ersichtlich ist, im Körper gewiß eine Zahl finden, so daß gleich einem Bruche wird, dessen Zähler und dessen Nenner zu 2 prim ausfallen. Endlich werde ein Primideal in bestimmt, welches den Bedingungen

(7)

genügt. Mit Rücksicht auf Satz 43 gibt es dann in eine ganze Zahl derart, daß und zugleich kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach ausfällt.

Wir haben nun auf Grund von Definition 18

ferner ist

.

Endlich folgt bei Anwendung der Sätze 36 und 40

und wegen der Voraussetzung des Satzes 57 haben wir mithin

,

d. h. es ist

und wegen (7) wird also auch

. (8)

Wir betrachten nunmehr den Körper und bedienen uns dann zum Beweise des Satzes 57 der nämlichen Schlußweise, welche wir beim Beweise des Satzes 48 angewandt haben. Aus (7) folgt, daß das Primideal des Körpers in stets weiter zerlegbar ist. Wir unterscheiden ferner im