Andererseits erhalten wir, da nach Satz 36
|
|
ausfällt, die Gleichung
|
|
wegen (5) und (6) entnehmen wir hieraus
|
,
|
d. h.
ist eine gerade Zahl.
Damit ist unsere Behauptung bewiesen und es muß mithin entweder das Primideal
des Körpers
in
weiter zerlegbar sein oder der Exponent
, zu dem
in
aufgeht, gerade ausfallen. In beiden Fällen aber kann, wie leicht ersichtlich, eine ganze Zahl
im Körper
gefunden werden, derart, daß
einem Bruche
wird, dessen Zähler
und dessen Nenner
zu
prim ausfallen, und aus (2) schließen wir dann
|
.
|
Diese Gleichung erhält mit Rücksicht auf die Definition 17 die Gestalt
|
|
und folglich ist nach Satz 50 auch
|
,
|
d. h.
ist Normenrest im Körper
nach
und folglich ist wegen Satz 56 auch
. Damit ist der Satz 57 in dem Falle bewiesen, daß der Exponent
gerade ausfällt.
Wir machen zweitens die Annahme, daß der Exponent
ungerade ist und benutzen wiederum die Bezeichnungen wie in Satz 42. Wir bestimmen dann eine ganze zu
prime Zahl
in
, für welche die Kongruenzen
|
|
bestehen. Es sei ferner
ein Primideal in
, welches den Bedingungen
|
|
|
|