wo das Produkt
stets über sämtliche zu
primen Primideale
in
zu erstrecken ist.
Wenn wir die beiden letzten Formeln des Satzes 14 heranziehen, so erhalten wir unmittelbar aus der Definition 17 des Symbols
zwei entsprechende Formeln für dieses neue Symbol; wir drücken diese Tatsache in dem folgenden Satze aus:
Satz 45. (Hilfssatz.) Wenn
,
,
,
,
,
beliebige zu
prime ganze Zahlen des Körpers
sind, so gelten in bezug auf ein jedes in
aufgehende Primideal
die Formeln
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§ 33. Die Übereinstimmung der beiden Symbole
und
für irgendwelche zu
prime Zahlen
,
.
Um die Übereinstimmung der beiden Symbole
und
miteinander zu erkennen, bedienen wir uns der folgenden Entwicklungen:
Satz 46. (Hilfssatz.) Es sei wie in Definition 17
ein Primfaktor von
im Körper
und es gehe
in
genau zur
-ten Potenz auf; ferner sei
eine ganze oder gebrochene Zahl in
, für die eine Kongruenz
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gilt, wobei
eine ganze zu
prime Zahl in
bedeutet: dann kann stets auch für jede Potenz
mit höherem Exponenten
eine ganze Zahl
in
gefunden werden, welche der Kongruenz
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genügt.
Beweis. Nehmen wir an, es sei für die Potenz
eine Zahl
von der verlangten Beschaffenheit bereits gefunden, so gelangen wir zu einer Zahl
für die Potenz
auf diese Weise. Wir wählen zunächst eine ganze Zahl
in
, welche durch
, aber nicht durch
teilbar ist, und setzen
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,
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worin
noch eine zu bestimmende ganze Zahl in
sei. Aus der Kongruenz
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erhalten wir
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