der sämtlichen Charaktere ist für jedes Geschlecht gleich
. Da
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent sein soll, so zerfällt inbesondere das Primideal
im Körper
in zwei Primfaktoren. Die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren sind offenbar
|
|
und da das Produkt derselben gleich
sein soll, so würden wir
|
|
erhalten. Diese Folgerung widerspricht den Voraussetzungen, die wir im Satze 42 über die Primideale
, …,
getroffen haben, und demnach ist unsere zu Anfang dieses Beweises gemachte Annahme zu verwerfen, d. h. irgendein Ausdruck von der Gestalt (1) kann nur dann kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
sein, wenn sämtliche Exponenten
, …,
,
, …,
,
, …,
gleich
sind.
Wir setzen nun zur Abkürzung
|
|
und verstehen unter
|
|
ein volles System von ganzen zu
primen und nach
einander inkongruenten Zahlen in
, die überdies sämtlich kongruent
nach dem Modul
sein sollen. Da allgemein
|
|
ist, so können wir annehmen, es sei etwa stets
|
|
Die
Zahlen
, …,
haben dann offenbar die Eigenschaft, daß weder die Differenz noch die Summe von irgend zwei derselben durch
teilbar wird. Ferner setzen wir zur Abkürzung
|
|
und bilden in der entsprechenden Weise wie oben zunächst das System von
ganzen, zu
primen Zahlen
|
, …, ,
|
die sämtlich kongruent
nach
sind und die Eigenschaft