Zum Inhalt springen

Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/464

aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Beweis. Es seien , …, die in der Relativdiskriminante von aufgehenden Primideale des Körpers und man setze

, …, ,

wo , …, gewisse ganze Zahlen in bedeuten. Es ist offenbar

, (1)

wo eine Einheit und eine gewisse ganze Zahl in bedeutet. Ferner wähle man nach der Vorschrift des § 17 von diesen Primidealen gewisse aus; es seien dies etwa die Primideale , …, . Endlich mögen , …, beliebige Einheiten bedeuten, die der Bedingung

(2)

genügen. Wegen Satz 18 gibt es in gewiß ein primäres Primideal , für welches

, …, , , …, (3)

ausfällt. Es sei eine Primärzahl von ; dann ist nach Satz 37

,  .

Wegen (1), (2), (3) haben wir

,

d.h. zerfällt in in zwei Primfaktoren. Ein jeder derselben hat wegen

, …, 

im Körper die Charaktere

, …, .

Es lassen sich nun die Einheiten , …, offenbar auf Weisen so bestimmen, daß die Bedingung erfüllt ist. Nach dem eben Bewiesenen gehört zu jedem solchen Systeme von Einheiten wirklich ein Geschlecht in , und da die Anzahl der Geschlechter von nach Satz 26 auch nicht größer sein kann als , so ist der Satz 41 hiermit für den Fall bewiesen, daß die Relativdiskriminante des Körpers zu prim ausfällt. Den allgemeinen Nachweis des Satzes 41 werden wir erst in § 41 führen.

§ 30. Ein gewisses System von zu primen Primidealen des Körpers .

Wir leiten jetzt einen Satz ab, der im folgenden Paragraphen gebraucht werden wird und der eine Erweiterung des Satzes 29 ist. Dieser Satz lautet: