so daß
, …,
gewisse ganze rationale Exponenten und
ein zu
primes Ideal bedeutet. Nach Satz 8 sind die Ideale
, …,
sämtlich im Körper
weiter zerlegbar; es seien
, …,
bez. je ein Primfaktor von
, …,
in
; endlich sei
eine durch das Ideal
teilbare ganze Zahl des Körpers
von der Art, daß der Quotient
zu
prim ausfällt. Die Relativnorm
der Zahl
erhält dann die Gestalt
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,
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wo
ein zu
primes Ideal des Körpers
bedeutet, und es läßt sich infolgedessen der Quotient
als ein Bruch
darstellen, dessen Zähler
und dessen Nenner
ganze zu
prime Zahlen sind. Wegen der Definition 6 ist für jedes Primideal
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und mithin auch
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,
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wo
über alle zu
primen Primideale
in
erstreckt werden soll. Berücksichtigen wir ferner, daß nach Satz 36 die Gleichungen
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gelten, so erhalten wir mit Rücksicht auf die zweite Formel in Satz 14
|
,
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wie der zu beweisende Satz 40 behauptet.
§ 29. Der Fundamentalsatz über die Anzahl der Geschlechter in einem relativquadratischen Körper.
In § 19 haben wir für den Fall, daß die Relativdiskriminante des Körpers
zu
prim ist, den Satz 26 bewiesen und dadurch eine obere Grenze für die Anzahl der Geschlechter in
aufgestellt. Wir sind nunmehr imstande, unter der nämlichen Einschränkung das folgende wichtige Theorem zu beweisen:
Satz 41. Es sei
die Anzahl der Charaktere, welche ein Geschlecht des relativquadratischen Körpers
bestimmen; ist dann ein System von
beliebigen Einheiten
vorgelegt, so wird dieses System dann und nur dann das Charakterensystem eines Geschlechtes in
, wenn das Produkt der sämtlichen
Einheiten gleich
ist. Die Anzahl
der in
vorhandenen Geschlechter ist daher gleich
.