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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/453

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Die Umkehrung des Satzes 38 stellt eine Verallgemeinerung des Satzes 33 dar und lautet wie folgt:

Satz 39. Wenn ein zu primes Ideal in und eine ganze Zahl in von der Beschaffenheit ist, daß das Ideal () gleich wird und überdies die Zahl nach dem Modul dem Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers kongruent ausfällt, so ist ein primäres Ideal in .

Den Beweis dieses Satzes gewinnen wir aus Satz 36, wenn wir in der Gleichung dieses Satzes 36 für eine beliebige Einheit in und für die Zahl nehmen.

§ 27. Beispiele für die Sätze 32, 33, 38, 39.

Die Sätze 32, 33 entsprechen dem bekannten Satze aus der Theorie der rationalen Zahlen, demzufolge quadratischer Rest oder Nichtrest nach einer rationalen positiven Primzahl ist, je nachdem diese von der Form oder ausfällt. Zur Erläuterung und Bestätigung der genannten Sätze 32, 33 wie der allgemeineren Sätze 38, 39 mögen folgende Beispiele dienen:

Beispiel 1. Der quadratische Körper hat die Klassenanzahl ; er besitzt zwei Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten und bestimmt sind. Die Zahlen

sind Primzahlen mit den Normen bez.

Nun gelten die Kongruenzen:

und

also haben wir im Körper

und ,

d. h. die Primideale und sind primär. Dagegen finden wir mittels Satz 1

d. h. die Primideale , , sind nichtprimär. In Übereinstimmung mit dem Satze 32 haben wir in der Tat

und