wenn das Produkt
über alle Primideale
des Körpers
erstreckt wird und folglich erhalten wir
,
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(13)
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wobei die Summe
ebenfalls über alle Primideale
des Körpers
zu erstrecken ist und wo
eine Größe darstellt, die für
gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert. Da (12) für
gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert, so muß notwendig (13) für
entweder ebenfalls gegen einen endlichen Grenzwert konvergieren oder negativ über alle Grenzen wachsen; in beiden Fällen ersehen wir mithin die Richtigkeit des zu beweisenden Satzes 31.
§ 23. Eine Eigenschaft primärer Primideale.
Durch die beiden Sätze 29 und 31 gelangen wir zu folgendem wichtigen Satze über primäre Primideale:
Satz 32. Wenn
ein primäres Primideal ist, so ist es stets möglich, in
eine ganze Zahl
zu finden, so daß das Ideal
gleich
wird und überdies die Zahl
nach dem Modul
eine Kongruenz von der Gestalt
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erfüllt, wo
eine geeignete ganze Zahl des Körpers
ist.
Beweis. Es sei
, ...,
das zu Beginn von § 21 aufgestellte System von Einheiten in
; es seien ferner
, ...,
, wie in Satz 29, solche zu
prime Primideale des Körpers
, für welche allemal
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ausfällt. Die Existenz solcher Primideale folgt aus Satz 18. Wir setzen dann
,
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so daß
,
, ...,
gewisse ganze Zahlen des Körpers
bedeuten. Wenden wir nun den Satz 29 insbesondere auf die ganze Zahl
an, so ergibt sich, daß
einer Kongruenz von der Gestalt
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(1)
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genügt, wo
eine geeignete Einheit in
, ferner
, ...,
gewisse Exponenten
,
und
eine geeignete ganze Zahl in
bedeutet. Hätten in diesem Ausdrucke (1) rechter Hand die Exponenten
, ...,
sämtlich den Wert
, so wäre bereits
eine Zahl von der Art, wie sie Satz 32 verlangt. Wir