reelle Größen
, ...,
; diese
Größen mögen kurz die Exponenten zur Zahl
heißen. Es ist klar, daß jede Zahl
durch Multiplikation mit ganzen Potenzen von
, ...,
auf eine und nur auf eine Weise in eine solche Zahl
verwandelt werden kann, zu der die Exponenten
, ...,
den Bedingungen
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genügen. Umgekehrt sehen wir leicht, daß zwei Einheiten, deren Exponenten bez. einander gleich sind, sich nur um einen Faktor unterscheiden können, welcher eine Einheitswurzel ist. Die Anzahl aller in
liegenden Einheitswurzeln werde mit
bezeichnet.
Es sei nun
eine beliebige Idealklasse in
und
ein zu
primes Ideal der zu
reziproken Klasse
; ferner bestimmen wir ein volles System von quadratischen Resten nach
, etwa
,
,
, ..., und zwar derart, daß diese
Zahlen
,
,
, ... sämtlich durch
teilbar sind: dann läßt sich offenbar jede durch
teilbare ganze Zahl in
, welche quadratischer Rest nach
ist, in einer der
Formen
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(1)
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darstellen, wo
, ...,
gewisse ganze rationale Zahlen und
, ...,
die Basiszahlen des Ideals
bedeuten. Es sei ferner
irgendein durch
teilbarer quadratischer Rest nach
; da
ein primäres Primideal sein soll, so besitzt jede Zahl
, die durch Multiplikation der Zahl
mit einer beliebigen Einheit entspringt, die gleiche Eigenschaft und ist mithin ebenfalls in einer jener Formen (1) darstellbar.
Indem wir diese Tatsachen zusammen nehmen, erkennen wir folgendes: das
-fache der Anzahl
aller durch
teilbaren Hauptideale
, deren Normen die reelle positive Zahl
nicht überschreiten und für welche
ausfällt, ist gleich der Anzahl
der verschiedenen Systeme von rationalen ganzzahligen Werten
, ...,
, für welche die Ungleichungen
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(2)
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