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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/417

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ungerade und daher gewiß von verschieden sein; dann aber widerspräche die Relation (7) der zweiten Aussage des Satzes 19. Hiermit ist gezeigt, daß in der Relation (4) die Exponenten , …, notwendig sämtlich gleich sind.

Nunmehr erkennen wir leicht, daß in (4) auch der Exponent verschwinden muß. Würde nämlich den Wert haben können, so wäre ein Ideal in und folglich ; das Erheben zur -ten Potenz würde liefern und, wenn gesetzt wird, wo eine ganze Zahl in bedeutet, so würde oder folgen, wo eine Einheit in und eine gewisse Zahl in bedeutet. Diese Annahme ist jedoch zu Anfang unseres Beweises vorläufig ausgeschlossen. Hiermit ist in der Tat bewiesen, daß eine Relation von der Gestalt (4) nicht stattfinden kann; es sei denn, daß die Exponenten , , …, sämtlich gleich sind.

Nunmehr kehren wir zu den Gleichungen (3) zurück und wählen unter den ambigen Primidealen , …, solche aus – es seien dazu etwa , …, geeignet –, welche sich vermöge dieser Gleichungen (3) durch die Ideale , , …, , durch die übrigen ambigen Primideale , …, und gewisse Ideale des Körpers , wie folgt, ausdrücken lassen:

(8)

wo die Exponenten , ,…, , , …, gewisse Werte , haben. Daß dies möglich sein muß, erkennen wir, wenn wir die vorhin bewiesene Tatsache benutzen, derzufolge eine Relation von der Gestalt (4) nicht stattfinden kann, es sei denn, daß sämtliche Exponenten , , …, verschwinden. Überdies haben wir dabei den Umstand zu berücksichtigen, daß die Quadrate der ambigen Primideale , …, und ebenso die Quadrate der Ideale

Ideale in werden.

Da die Ideale Hauptideale sind, so zeigen die Gleichungen (8) unmittelbar, daß die durch , …, bestimmten ambigen Komplexe gewisse Produkte derjenigen Komplexe sind, die durch die Ideale , …, bestimmt sind. Die Anzahl der voneinander unabhängigen,