ungerade und daher gewiß von
verschieden sein; dann aber widerspräche die Relation (7) der zweiten Aussage des Satzes 19. Hiermit ist gezeigt, daß in der Relation (4) die Exponenten
, …,
notwendig sämtlich gleich
sind.
Nunmehr erkennen wir leicht, daß in (4) auch der Exponent
verschwinden muß. Würde
nämlich den Wert
haben können, so wäre
ein Ideal
in
und folglich
; das Erheben zur
-ten Potenz würde
liefern und, wenn
gesetzt wird, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet, so würde
oder
folgen, wo
eine Einheit in
und
eine gewisse Zahl in
bedeutet. Diese Annahme ist jedoch zu Anfang unseres Beweises vorläufig ausgeschlossen. Hiermit ist in der Tat bewiesen, daß eine Relation von der Gestalt (4) nicht stattfinden kann; es sei denn, daß die Exponenten
,
, …,
sämtlich gleich
sind.
Nunmehr kehren wir zu den Gleichungen (3) zurück und wählen unter den
ambigen Primidealen
, …,
solche
aus – es seien dazu etwa
, …,
geeignet –, welche sich vermöge dieser Gleichungen (3) durch die Ideale
,
, …,
, durch die übrigen ambigen Primideale
, …,
und gewisse Ideale
des Körpers
, wie folgt, ausdrücken lassen:
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(8)
|
|
|
wo die Exponenten
,
,…,
,
, …,
gewisse Werte
,
haben. Daß dies möglich sein muß, erkennen wir, wenn wir die vorhin bewiesene Tatsache benutzen, derzufolge eine Relation von der Gestalt (4) nicht stattfinden kann, es sei denn, daß sämtliche Exponenten
,
, …,
verschwinden. Überdies haben wir dabei den Umstand zu berücksichtigen, daß die Quadrate der ambigen Primideale
, …,
und ebenso die Quadrate der Ideale
|
|
Ideale in
werden.
Da die Ideale
Hauptideale sind, so zeigen die Gleichungen (8) unmittelbar, daß die durch
, …,
bestimmten ambigen Komplexe gewisse Produkte derjenigen Komplexe sind, die durch die Ideale
, …,
bestimmt sind. Die Anzahl der voneinander unabhängigen,