keine Relation von der Gestalt
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(4)
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stattfinden kann, wo die Exponenten
,
, …,
irgendwelche Werte
,
haben und
ein Ideal in
bedeutet, es sei denn, daß diese Exponenten sämtlich gleich
sind und
wird.
Zu dem Zwecke erheben wir die Relation (4) in die
-te Potenz und setzen
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet; wir erhalten dann eine Relation von der Gestalt
,
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wo
eine Einheit des Körpers
ist. Wenden wir auf diese Relation die Substitution
an und dividieren sie dann durch die so entstehende neue Relation, so folgt
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oder vermöge (2)
.
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Wir schreiben diese Relation in der Gestalt
,
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(5)
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wo
eine Einheit in
bezeichnet.
Nach Satz 19 gibt es für jede Einheit
einen ungeraden Exponenten
, so daß
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(6)
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wird, wo die Exponenten
, …,
gewisse ganze rationale Werte haben und
eine Einheit in
ist; aus (5) und (6) folgt mit Rücksicht auf (1) eine Gleichung von der Gestalt
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(7)
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wo
, …,
gewisse ganze rationale Exponenten sind und
wiederum eine Einheit in
bedeutet. Da
und
ungerade Zahlen sind, so würde, wenn unter den Zahlen
, …,
auch nur eine gleich
ausfiele, notwendig der betreffende Exponent in der Reihe
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