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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 4

Das Grundideal ${\mathfrak {G}}$ des Körpers $K$ enthält das Primideal ${\mathfrak {P}}$ genau in der

r_{t}-r_{v}+L(r_{v}-r_{\overline {v}})+{\overline {L}}(r_{\overline {v}}-r_{\overline {\overline {v}}})+\cdots

ten Potenz.

Da nun $K$ ein Galoisscher Körper ist und mithin das Grundideal ${\mathfrak {G}}$ mit seinen konjugierten übereinstimmt, so ist die Diskriminante $D$ von $K$ die $M$ -te Potenz von ${\mathfrak {G}}$ ; $D$ enthält folglich das Primideal ${\mathfrak {P}}$ genau $M$ mal so oft. Hieraus ergibt sich unmittelbar der Satz:

Der Exponent der Potenz, zu welcher die rationale Primzahl $p$ in der Diskriminante $D$ des Körpers $K$ als Faktor vorkommt, ist

m_{t}\left\{r_{t}-r_{v}+L\left(r_{v}-r_{\overline {v}}\right)+{\overline {L}}\left(r_{\overline {v}}-r_{\overline {\overline {v}}}\right)+\cdots \right\}.

Im Falle, daß keine überstrichenen Verzweigungskörper vorhanden sind, wird $r_{v}=1$ , $r_{\overline {v}}=1$ , … und es folgt dann das von R. Dedekind und K. Hensel bewiesene Resultat, demzufolge der Exponent der in $D$ aufgehenden Potenz von $p$ den Wert $m_{t}(r_{t}-1)$ besitzt.

Da man für die Exponenten $L$ , ${\overline {L}}$ , … ohne Schwierigkeit eine obere Grenze findet, so kann hiernach auch der eben bestimmte Exponent der in der Diskriminante $D$ aufgehenden Potenz von $p$ eine gewisse nur vom Grade $M$ des Körpers $K$ abhängige Grenze nicht überschreiten. Dieser Satz ist besonders deshalb von Wichtigkeit, weil er die Möglichkeiten, die sich hinsichtlich der in $M$ aufgehenden Primzahlen $p$ bieten, von vornherein auf eine endliche Anzahl einschränkt. Rechnen wir demnach alle diejenigen Körper vom Grade $M$ , welche hinsichtlich der in $M$ aufgehenden Primzahlen das nämliche Verhalten zeigen, zu einem Typus, so folgt, daß es für einen gegebenen Grad $M$ nur eine endliche Anzahl von möglichen Körpertypen gibt.

Königsberg i. Pr., den 25. Juni 1894.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 23. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/40&oldid=- (Version vom 31.7.2018)