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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 4

Es gelten die drei allgemeinen Theoreme:

{\begin{alignedat}{2}\mathrm {I} &.\quad {\mathfrak {d}}&&=\nu ({\mathfrak {G}}_{\varkappa }),\\\mathrm {II} &.\quad {\mathfrak {G}}&&={\mathfrak {g}}{\mathfrak {G}}_{\varkappa },\\\mathrm {III} &.\quad D&&=d^{r}n({\mathfrak {d}});\\\end{alignedat}}

hierin bedeuten $D$ , $d$ , ${\mathfrak {d}}$ , bezüglich die Diskriminanten der Körper $K$ , $\varkappa$ und die Partialdiskriminante des Körpers $K$ in bezug auf $\varkappa$ , ferner ${\mathfrak {G}}$ , ${\mathfrak {g}}$ , ${\mathfrak {G}}_{\varkappa }$ bezüglich die Grundideale von $K$ , $\varkappa$ und das Partialgrundideal des Körpers $K$ in bezug auf $\varkappa$ ; endlich bedeutet $\nu ({\mathfrak {G}}_{\varkappa })$ die Partialnorm von ${\mathfrak {G}}_{\varkappa }$ und $n({\mathfrak {d}})$ die Norm von ${\mathfrak {d}}$ für den Körper $\varkappa$ . Diese Theoreme geben einen klaren Einblick in den Bau der Diskriminanten. Das Theorem I ist die Erweiterung des Dedekindschen Satzes für den Begriff des Partialgrundideals. Nach Theorem II ist das Verhalten der Grundideale beim Übergange von dem niederen in den höheren Körper von merkwürdiger Einfachheit: man bekommt das Grundideal des höheren Körpers, indem man das Grundideal des niederen Körpers mit dem betreffenden Partialgrundideal multipliziert. Das Theorem III entsteht, wenn man von der Gleichung II die Norm bildet. Daß die Diskriminante eines Körpers durch die Diskriminante eines jeden Unterkörpers teilbar ist, hat bereits Kronecker^[1] bewiesen. Das Theorem III gibt die Potenz der letzteren an, welche in der Diskriminante des höheren Körpers aufgeht und deckt auch zugleich die einfache Bedeutung des übrigbleibenden Faktors der Diskriminante des höheren Körpers auf.

Nunmehr folgen mit Hilfe der oben entwickelten Theorie die Sätze:

Das Grundideal des zum Primideal ${\mathfrak {P}}$ gehörigen Trägheitskörpers ist nicht durch ${\mathfrak {P}}$ teilbar. Der Trägheitskörper umfaßt sämtliche in $K$ enthaltenen Unterkörper, deren Grundideale nicht durch ${\mathfrak {P}}$ teilbar sind.

Das Partialgrundideal des Verzweigungskörpers in bezug auf den Trägheitskörper ist durch

{\mathfrak {P}}^{r_{t}-r_{v}}={\mathfrak {p}}_{v}^{h-1}

und durch keine höhere Potenz von ${\mathfrak {P}}$ teilbar.

Das Partialgrundideal des einmal überstrichenen Verzweigungskörpers in bezug auf den Verzweigungskörper enthält genau die Potenz

{\mathfrak {P}}^{L(r_{v}-r_{\overline {v}})}={\mathfrak {p}}_{\overline {v}}^{L(p^{\overline {e}}-1)}.

Das Partialgrundideal des zweimal überstrichenen Verzweigungskörpers in bezug auf den einmal überstrichenen Verzweigungskörper enthält genau die Potenz

{\mathfrak {P}}^{{\overline {L}}(r_{\overline {v}}-r_{\overline {\overline {v}}})}={\mathfrak {p}}_{\overline {\overline {v}}}^{{\overline {L}}(p^{\overline {\overline {e}}}-1)}

usw.

↑ Vgl. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen § 9. J. Math. 92 (1882).

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 22. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/39&oldid=- (Version vom 31.7.2018)

[1] Vgl. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen § 9. J. Math. 92 (1882).

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