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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

und da andererseits die Relativnorm $N(\Omega )={\frac {\alpha ^{*2}-\beta ^{*2}\mu }{\gamma ^{*2}}}$ eine ganze Zahl ist, so müssen entweder beide der Zahlen $\alpha ^{*2}$ und $\beta ^{*2}\mu$ genau durch die gleiche Potenz von ${\mathfrak {l}}$ aufgehen oder es müßte jede dieser beiden Zahlen mindestens durch ${\mathfrak {l}}^{2c^{*}}$ teilbar sein. Das letztere ist nicht der Fall, weil wegen der eben abgeleiteten Gleichung $(2)$ jedenfalls $2b^{*}+a<2c^{*}$ ausfällt und daher $\beta ^{*2}\mu$ sicher nicht durch ${\mathfrak {l}}^{2c^{*}}$ teilbar sein kann. Es ist daher notwendigerweise $2a^{*}=2b^{*}+a$ und mithin wegen $(2)$ auch $2l+2a^{*}=2c^{*}$ oder $l+a^{*}=c^{*}$. Aus $2a^{*}=2b^{*}+a$ folgt ferner $a^{*}\geqq b^{*}$ und aus $l+a^{*}=c^{*}$ folgt $c^{*}>a^{*}$; mithin ist auch $c^{*}>b^{*}$. Da ${\frac {\alpha ^{*2}-\beta ^{*2}\mu }{\gamma ^{*2}}}$ eine ganze Zahl sein soll, so haben wir die Kongruenz

$\mu \equiv \left({\frac {\alpha ^{*}}{\beta ^{*}}}\right)^{2},\qquad ({\mathfrak {l}}^{2c^{*}-2b^{*}})$,

Wegen $a^{*}\geqq b^{*}$ läßt sich der Bruch ${\frac {\alpha ^{*}}{\beta ^{*}}}$ in der Gestalt eines Bruches schreiben, dessen Nenner zu ${\mathfrak {l}}$ prim ausfällt, und es ist somit ${\frac {\alpha ^{*}}{\beta ^{*}}}$ notwendig einer gewissen ganzen Zahl $\alpha$ des Körpers $k$ nach ${\mathfrak {l}}^{2c^{*}-2b^{*}}$ kongruent, so daß auch die Kongruenz

$\mu \equiv \alpha ^{2},\qquad ({\mathfrak {l}}^{2c^{*}-2b^{*}})$

gilt. Hierdurch ist mit Rücksicht auf die aus $(2)$ folgende Gleichung $2c^{*}-2b^{*}=2l+a$ die Richtigkeit des Satzes $4$ vollständig gezeigt.

Aus diesem Satze $4$ entnehmen wir leicht die folgende besondere Tatsache:

Satz 5 Wenn $\mu$ eine beliebige zu $2$ prime ganze Zahl in $k$ bedeutet, die nicht das Quadrat einer Zahl in $k$ wird, so ist die Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ stets dann und nur dann zu $2$ prim, wenn $\mu$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent wird.

§ 5. Die Zerlegung der Primideale des Grundkörpers $k$ im relativquadratischen Körper $K$.

Die Frage, wie die Primideale des relativquadratischen Körpers $K$ durch Zerlegung aus den Primidealen des Körpers $k$ entstehen, erledigt sich in den folgenden Sätzen:

Satz 6 Ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ ist stets dann und nur dann im Körper $K$ gleich dem Quadrat eines Primideals ${\mathfrak {P}}$, wenn ${\mathfrak {p}}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K$ aufgeht.

Beweis. Aus ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{2}$ folgt ${\mathfrak {p}}=(S{\mathfrak {P}})^{2}$ und mithin ${\mathfrak {P}}=S{\mathfrak {P}}$, d. h. ${\mathfrak {P}}$ ist ein ambiges Primideal des Körpers $K$ und als solches nach Satz $3$ in der Relativdifferente des Körpers $K$ enthalten, d. h. ${\mathfrak {p}}$ geht geht dann in der Relativdiskriminante auf.

Wenn wir umgekehrt annehmen, daß ${\mathfrak {p}}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K$ aufgehe und mit ${\mathfrak {P}}$ einen in ${\mathfrak {p}}$ aufgehenden Primfaktor des Körpers $K$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 376. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/393&oldid=- (Version vom 11.2.2020)