Das Ideal
ist also ein ambiges Primideal und nach Satz 3 tritt dasselbe daher in der Relativdifferente
des Körpers
als Faktor auf; es ist also die Relativdiskriminante
durch
teilbar.
Ist dagegen der Exponent
gerade, so stellt
eine zu
prime ganze Zahl in
dar, von der Art, daß
in
liegt; da die Relativdiskriminante der Zahl
den Wert
hat, so ist sie zu
prim. Das gleiche gilt mithin von der Relativdiskriminante
des Körpers
.
Jetzt betrachten wir die Verhältnisse in betreff des Primfaktors
. Ist die Kongruenz
erfüllt, so muß
in der Zahl
genau zur
-ten Potenz aufgehen und mithin ist der Exponent
eine gerade Zahl. Es sei nun
eine durch
, aber nicht durch
teilbare ganze Zahl in
und weiter sei
eine durch
teilbare, aber zu
prime ganze Zahl in
: der Ausdruck
|
|
stellt dann eine ganze Zahl in
dar, da die beiden Ausdrücke
,
|
|
,
|
|
offenbar ganze Zahlen in
sind. Andererseits hat die Relativdiskriminante der Zahl
den Wert
|
|
und ist mithin prim zu
; das gleiche gilt also für die Relativdiskriminante des Körpers
.
Setzen wir umgekehrt voraus, die Relativdiskriminante
des Körpers
sei prim zu
, so folgt wegen
,
|
|
daß dann notwendig im Körper
eine ganze Zahl
existieren muß, deren Relativdiskriminante
zu
prim ausfällt; wir setzen
,
|
|
wo
ganze Zahlen in
bezeichnen, die bez. genau durch die
-te,
-te,
-te Potenz von
aufgehen mögen. Da nun
eine zu
prime ganze Zahl sein soll, so folgt
,
|
(2)
|