Die Gleichungen (187) können infolgedessen und mit Rücksicht auf Satz 127 (S. 204) in der Gestalt
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(189)
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geschrieben werden, wo die
gewisse ganzzahlige Exponenten, die
geeignete reelle Einheiten des Kreiskörpers
und die
gewisse ganze oder gebrochene Zahlen mit zu
primen Zählern und Nennern in
bedeuten. Da die
-te Potenz der Zahl
jedesmal kongruent einer gewissen ganzen rationalen Zahl
nach
ist, so erhalten wir aus den Gleichungen (189) die Kongruenzen
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(190)
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Auf diese Kongruenzen wenden wir die Substitution
an und bezeichnen die bei dieser Substitution aus
und
hervorgehenden Zahlen mit
und
; dann entsteht
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(191)
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Aus (190) und (191) folgt
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(192)
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Setzen wir
,
nach
, wo
und
ganze rationale Zahlen bedeuten sollen, so folgt aus (192)
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(193)
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und wegen der allgemeinen Beziehung
nach
liefert (193) die Kongruenz:
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Andererseits folgt aus der Gleichung (188)
nach
, und daher haben wir
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Nehmen wir nun unter Berücksichtigung dieser Beziehung speziell die Kongruenzen (192) für
, so folgt aus diesen durch Elimination der
Zahlen
notwendig
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d. i.
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(194)
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Hier ist auf der linken Seite keiner der Faktoren gleich
, denn sonst müßte entweder
oder
oder
nach
sein. Wäre
nach
, so