36. Die Diophantische Gleichung
.
§ 172.
Die Unmöglichkeit der Diophantischen Gleichung
für reguläre Primzahlexponenten
.
Fermat hat die Behauptung aufgestellt, daß die Gleichung
|
|
in ganzen rationalen, von Null verschiedenen Zahlen
für keinen ganzzahligen Exponenten
lösbar ist. Wenngleich schon aus der Literatur
vor Kummer vereinzelte Resultate über diese Gleichung von Fermat bemerkenswert sind [Abel (1[1]), Cauchy (1[2], 2[3]), Dirichlet (1[4], 2[5], 3[6]), Lamé (1[7], 2[8], 3[9]), Lebesgue (1[10], 2[11], 3[12])], so ist es doch erst Kummer auf Grund der Theorie der Ideale des regulären Kreiskörpers gelungen, den Beweis der Fermatschen Behauptung für sehr umfangreiche Klassen von Exponenten
vollständig zu führen. Die wichtigste von Kummer bewiesene Tatsache ist die folgende:
Satz 168. Wenn
eine reguläre Primzahl bedeutet und
irgendwelche ganze Zahlen des Kreiskörpers der
-ten Einheitswurzeln sind, von denen keine verschwindet, so besteht niemals die Gleichung
|
(185)
|
[Kummer (1[13], 9[14], 11[15])].
Beweis. Es sei
Wir nehmen im Gegensatz zu der Behauptung an, die Gleichung (185) besäße eine Lösung in ganzen Zahlen
des Körpers
, und unterscheiden dann die zwei Fälle, daß keine der drei ganzen Zahlen
durch
teilbar ist, oder daß mindestens eine unter ihnen durch
teilbar ist.
Im ersten Falle sind jedenfalls für den Exponenten
die Werte
und
ausgeschlossen. In der Tat, für
wäre jede der drei Zahlen
nach
und folglich jede der drei Potenzen
nach
hieraus würde folgen, daß die Summe dieser drei Potenzen
oder
nach
ausfiele, was mit dem Bestehen der Gleichung (185) nicht verträglich ist. Auf einen ähnlichen Widerspruch gelangen wir für
wenn wir berücksichtigen, daß in diesem Falle jede der drei Zahlen
nach
und folglich jede der drei Potenzen
nach
sein müßte.
Es sei also
Gilt die Gleichung (185) für die drei Zahlen
so ist offenbar auch
wenn
bezüglich die Produkte von
mit irgendwelchen
-ten Einheitswurzeln bedeuten. Wegen dieses Umstandes dürfen wir von vornherein annehmen, daß die drei der Gleichung (185) genügenden Zahlen
semiprimär sind. Wir bringen nun die Gleichung (185) in die Gestalt
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(186)
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Würden hier zwei der
Faktoren linker Hand, z. B.
und
‚ einen Faktor gemein haben, so müßte dieser auch in
und in
aufgehen, und da
eine Einheit ist und
nicht in
aufgeht, so müßte dieser gemeinsame Faktor notwendig ein gemeinsamer Faktor der Zahlen
und
sein. Da jeder Primfaktor, der nur in einem der
Faktoren linker Hand von (186) aufgeht, wegen eben dieser Gleichung offenbar zu einem durch
teilbaren Exponenten darin vorkommen muß, so folgt, daß die
Faktoren der linken Seite von (186) die folgende Zerlegung gestatten:
|
|
darin bedeutet
den größten gemeinsamen Idealteiler der Zahlen
und
sind gewisse Ideale in
. Da insbesondere
zu
prim ist, so können wir eine
-te Einheitswurzel
bestimmen derart, daß
semiprimär wird; wir setzen
|
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Es ergibt sich dann
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(187)
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d. h. es ist
|
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und ferner wird
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(188)
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Bedeutet
die Anzahl der Idealklassen in
, so ist andererseits
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|
und da
zu
prim ist, so folgt hieraus weiter
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Die Gleichungen (187) können infolgedessen und mit Rücksicht auf Satz 127 (S. 204) in der Gestalt
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(189)
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geschrieben werden, wo die
gewisse ganzzahlige Exponenten, die
geeignete reelle Einheiten des Kreiskörpers
und die
gewisse ganze oder gebrochene Zahlen mit zu
primen Zählern und Nennern in
bedeuten. Da die
-te Potenz der Zahl
jedesmal kongruent einer gewissen ganzen rationalen Zahl
nach
ist, so erhalten wir aus den Gleichungen (189) die Kongruenzen
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(190)
|
Auf diese Kongruenzen wenden wir die Substitution
an und bezeichnen die bei dieser Substitution aus
und
hervorgehenden Zahlen mit
und
; dann entsteht
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(191)
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Aus (190) und (191) folgt
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(192)
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Setzen wir
,
nach
, wo
und
ganze rationale Zahlen bedeuten sollen, so folgt aus (192)
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(193)
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und wegen der allgemeinen Beziehung
nach
liefert (193) die Kongruenz:
|
|
Andererseits folgt aus der Gleichung (188)
nach
, und daher haben wir
|
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Nehmen wir nun unter Berücksichtigung dieser Beziehung speziell die Kongruenzen (192) für
, so folgt aus diesen durch Elimination der
Zahlen
notwendig
|
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d. i.
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(194)
|
Hier ist auf der linken Seite keiner der Faktoren gleich
, denn sonst müßte entweder
oder
oder
nach
sein. Wäre
nach
, so würde
nach
folgen; wäre
nach
, so würde
nach
, d. h.
oder
nach
folgen; beides läuft unserer Annahme über die Zahlen
,
,
zuwider. Wäre
nach
, so würde
nach
, d. h.
oder
nach
folgen. Da aber
,
,
in der Gleichung (185) symmetrisch auftreten, so würde die gleiche Schlußweise auch zu der Kongruenz
nach
führen, und dann wäre
, d. h.
nach
, was wiederum unserer Annahme über
,
,
widerspricht. Jeder Faktor auf der linken Seite der Kongruenz (194) ist demnach durch
, aber nicht durch
teilbar, daher ist mit Rücksicht auf die Annahme
diese Kongruenz (194) unmöglich.
Wir nehmen nunmehr zweitens an, es sei in der Gleichung (185) eine der drei Zahlen
,
,
, etwa
, durch
teilbar, und zwar gehe in
genau die
-te Potenz von
auf. Wird dann
durch
ersetzt, so daß
eine zu
prime ganze Zahl in
bedeutet, so ist die aus (185) entstehende Gleichung von der Gestalt
;
|
(195)
|
hierin ist
. Es soll jetzt gezeigt werden, daß überhaupt eine Gleichung von dieser Gestalt (195) nicht möglich ist, wenn in derselben
,
,
zu
prime ganze Zahlen und
irgendeine Einheit des Kreiskörpers
sein sollen. Zu dem Zwecke nehmen wir wiederum die Zahlen
,
semiprimär an und bedenken dann zunächst, daß
,
ganzen rationalen Zahlen nach
kongruent werden und daher wegen (195) auch
einer ganzen rationalen Zahl nach
kongruent sein muß; infolgedessen ist notwendig
. Ferner erkennen wir durch eine ähnliche Überlegung wie in dem vorher behandelten Falle und in Berücksichtigung des Umstandes, daß
semiprimär ist, die Gültigkeit der folgenden Gleichungen:
.
|
(196)
|
wo
,
, …,
,
zu
prime Ideale in
sind. Ist insbesondere
, so fällt die Klassenanzahl
des Körpers
gleich
aus, und es ist daher jedes Ideal in
ein Hauptideal. Setzen wir in diesem Falle
, wo
eine ganze Zahl in
bedeute, und dann
, ,
|
|
so gehen die Gleichungen (196) über in
|
(197)
|
Im Falle
![{\displaystyle l>3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/658758b40ccd17b965d606855d6647706e89714a)
bilden wir die Zahlen
, ;
|
|
dieselben lassen sich auch in der Gestalt von Brüchen schreiben, deren Zähler und Nenner zu
prim sind. Aus den drei ersten und der letzten der Gleichungen (196) entnehmen wir die Gleichungen
|
(198)
|
Wie in dem zuerst behandelten Falle schließen wir hieraus wiederum
, , ,
|
|
und infolgedessen können wir die Gleichungen (198) in der Gestalt
|
(199)
|
schreiben, so daß
,
,
,
ganze, zu
prime Zahlen und
und
Einheiten in
bedeuten. Wegen (197) besteht ein Gleichungssystem wie (199) auch für
. Durch Elimination von
,
folgt daher für
sowie für
eine Gleichung von der Gestalt:
,
|
(200)
|
wo
![{\displaystyle \eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64)
und
![{\displaystyle \eta ^{*}\left(=-{\frac {(1-\zeta )}{(1-\zeta ^{2})}}\varepsilon {\text{ und }}={\frac {\zeta (1-\zeta )}{(1-\zeta ^{2})}}\varepsilon ^{*}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554f4cc41e5e33481f62d9ac6e8a2a413dac8e57)
Einheiten in
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
sind. Da
![{\displaystyle \alpha ^{*l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e48bad88ba85fb54294ae1f4d3cdfe05fd0069)
,
![{\displaystyle \beta ^{*l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac8585219dca094b7546845bcc5d36d4fc97a43)
ganzen rationalen Zahlen nach
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}^{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89227bb38391eebaf1e942d81fad22c1ef596085)
kongruent sind und, wie vorhin bewiesen,
![{\displaystyle m>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f27527902d05e4c32bcbe28d425d7790f8ae191)
ausfällt, so folgt in Anbetracht dieser Gleichung (200), daß auch
![{\displaystyle \eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64)
einer ganzen rationalen Zahl nach
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}^{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89227bb38391eebaf1e942d81fad22c1ef596085)
kongruent sein muß, und daher ist nach Satz 156 (S. 287)
![{\displaystyle \eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64)
die
![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
-te Potenz einer Einheit in
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
. Schreiben wir nun in der Gleichung (200)
![{\displaystyle \beta ^{*}\eta ^{-{\frac {1}{l}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d3907d3d5f46af28df808357550549a346bb7c)
an Stelle von
![{\displaystyle \beta ^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/823d440b048cd3c497f61dffcb61d897b19e96db)
, so nimmt diese Gleichung die Gestalt von (195) an, nur daß der Exponent
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
jetzt um
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
kleiner geworden ist. Die wiederholte Anwendung des nämlichen Verfahrens auf die Gleichung (200) würde notwendig zu einer Gleichung von der Form (195) mit
![{\displaystyle m=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6100c5ebd48c6fd848709f2be624465203eb173)
und dadurch auf einen Widerspruch führen. Damit ist der Satz 168 vollständig bewiesen.
§ 173.
Weitere Untersuchungen über die Unmöglichkeit der Diophantischen Gleichung
.
Der Beweis der Unlösbarkeit der Gleichung
in ganzen Zahlen
,
,
des Kreiskörpers der
-ten Einheitswurzeln ist von Kummer noch in dem Falle erbracht worden, daß
eine Primzahl ist, die in der Klassenanzahl
des Kreiskörpers
zur ersten, aber nicht zu einer höheren Potenz aufgeht, wenn außerdem die Einheiten noch gewisse Bedingungen erfüllen [Kummer (16[16])]. Unter Berücksichtigung der Bemerkung auf S. 285 läßt sich insbesondere zeigen, daß die Fermatsche Behauptung für jeden Exponenten
richtig ist. Die Aufgabe, die Fermatsche Behauptung allgemein als richtig zu erweisen, harrt jedoch noch ihrer Lösung.
Es bleibt noch übrig, die Gleichung
für den Fall zu behandeln, daß der Exponent
eine Potenz von
ist. Die Gleichung
besitzt bekanntlich unendlich viele Lösungen in ganzen rationalen Zahlen
,
,
. Weiter gilt jedoch der Satz:
Satz 169. Wenn
,
,
ganze Zahlen des durch
bestimmten quadratischen Körpers sind, von denen keine verschwindet, so gilt niemals die Gleichung
.
|
(201)
|
Beweis. Wir nehmen im Gegenteil an, daß es drei solche ganze Zahlen
,
,
gebe, welche diese Gleichung erfüllen. Es werde
und
gesetzt. Zunächst sehen wir dann leicht ein, daß notwendig eine der beiden Zahlen
,
durch
teilbar sein muß. In der Tat, nehmen wir an, daß
und
prim zu
wären, und berücksichtigen wir, daß eine zu
prime ganze Zahl in
stets
oder
nach
, ihre zweite Potenz dann
nach
und ihre vierte notwendig
nach
sein muß, so folgt
nach
. Hiernach müßte
notwendig durch
und durch keine höhere Potenz von
teilbar sein. Setzen wir aber dementsprechend
, wo
wiederum eine ganze Zahl in
bedeute, so finden wir
nach
und daher stets
nach
, womit unsere Annahme widerlegt ist. Der Fall, daß beide Zahlen
und
durch
teilbar sind, kann offenbar sofort ausgeschlossen werden, da dann
durch
teilbar und somit das Fortheben der Potenz
auf beiden Seiten der Gleichung (201) möglich wäre.
Es bleibt also nur die Annahme übrig, daß die eine der Zahlen
,
, etwa die Zahl
, durch
teilbar, die Zahlen
und
dann aber zu
prim sind. Wir setzen demgemäß
, wo
eine zu
prime Zahl bedeute, und legen dann unserer Betrachtung sogleich die allgemeinere Gleichung
|
(202)
|
zugrunde, wo
eine beliebige Einheit in
bedeute. Wir entnehmen aus dieser Gleichung (202), indem wir nötigenfalls
mit
vertauschen, zwei Gleichungen von der Gestalt:
|
(203)
|
wobei
,
Einheiten und
,
ganze, zu
prime Zahlen in
bedeuten. Wenn man die beiden Gleichungen (203) addiert und das Resultat durch
dividiert, so entsteht eine Gleichung
,
|
(204)
|
wo
,
Einheiten in
sind. Im Falle
wäre diese Gleichung sicher unmöglich, weil die Zahlen
,
,
,
,
sämtlich
nach
ausfallen. Es ist daher notwendig
. Dann aber folgt aus dieser Gleichung (204), wenn sie als Kongruenz nach
aufgefaßt wird, zunächst
nach
; es ist daher
. Setzen wir, je nachdem hier das positive oder das ne-negative Vorzeichen gilt,
bez.
, so nimmt die Gleichung (204) die Gestalt der Gleichung (202) an, nur daß jetzt
einen um
kleineren Wert hat. Die gehörige Wiederholung des angegebenen Verfahrens führt auf einen Widerspruch.
Aus der Fermatschen Behauptung für den Fall
läßt sich sofort die Tatsache ableiten, daß es keine andere kubische Gleichung mit rationalen Koeffizienten gibt, deren Diskriminante gleich
ist, außer den zwei folgenden:
|
|
und denjenigen, die durch die Transformation
, wo
eine rationale Zahl ist, aus jenen Gleichungen hervorgehen [Kronecker (8[17])].
Die allgemeine Fermatsche Behauptung läßt sich nach Hurwitz in der Fassung aussprechen, daß der Ausdruck
für eine positive, echt gebrochene rationale Zahl
und einen ganzen rationalen Exponenten
stets eine irrationale Zahl darstellt.