in
. Die beiden Charaktere von
in diesem Körper sind
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und hieraus ergeben sich die Charaktere von
,
, …,
. Wegen (171) bestimmen die
Ideale
,
,…,
verschiedene Geschlechter, und wegen der nämlichen Formel (171) ist zugleich für dieselben stets das Produkt ihrer beiden Charaktere gleich
. Die letztere Tatsache gilt folglich für jedes beliebige Ideal in
. Da
ist, so wird
in
weiter zerlegbar; die Charaktere eines Primfaktors von
sind
, ,
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und es ist daher das Produkt
. Da andererseits
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sein soll, so folgt unter Heranziehung von (172)
.
Hilfssatz 46. Es sei
ein Primideal der ersten Art und
ein Primideal der zweiten Art in
; wenn dann
ausfällt, so wird auch
.
Beweis. Es seien
,
Primärzahlen bez. von
,
. Wir nehmen an, es wäre
. Nach Satz 152 (S. 276) gibt es ein von
und
verschiedenes Primideal
, für welches
, ,
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(173)
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, , …,
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(174)
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ausfällt, wo
, …,
die in § 166 bestimmten und dort mit
, …,
bezeichneten Einheiten sind. Wegen (174) ist
ein Primideal zweiter Art. Bedeutet
eine Primärzahl von
, so fällt
aus; denn aus
würde nach Hilfssatz 44 (S. 340)
folgen, was der ersten Gleichung in (173) widerspräche. Wir können daher eine Potenz
von
bestimmen derart, daß
wird.
Da
,
Primideale zweiter Art sind, so folgt mit Rücksicht auf Hilfssatz 43 (S. 337) nach Satz 148 (S. 251), daß die Relativdiskriminante des Körpers
nur die beiden Primideale
,
als Faktoren enthält. Nun ist nach (173)
und nach Hilfssatz 45 (S. 340)
,
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