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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/359

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in . Die beiden Charaktere von in diesem Körper sind

 

und hieraus ergeben sich die Charaktere von , , …, . Wegen (171) bestimmen die Ideale , ,…, verschiedene Geschlechter, und wegen der nämlichen Formel (171) ist zugleich für dieselben stets das Produkt ihrer beiden Charaktere gleich . Die letztere Tatsache gilt folglich für jedes beliebige Ideal in . Da ist, so wird in weiter zerlegbar; die Charaktere eines Primfaktors von sind

, ,

und es ist daher das Produkt . Da andererseits

sein soll, so folgt unter Heranziehung von (172) .

Hilfssatz 46. Es sei ein Primideal der ersten Art und ein Primideal der zweiten Art in ; wenn dann ausfällt, so wird auch .

Beweis. Es seien , Primärzahlen bez. von , . Wir nehmen an, es wäre . Nach Satz 152 (S. 276) gibt es ein von und verschiedenes Primideal , für welches

, , (173)
, , …, (174)

ausfällt, wo , …, die in § 166 bestimmten und dort mit , …, bezeichneten Einheiten sind. Wegen (174) ist ein Primideal zweiter Art. Bedeutet eine Primärzahl von , so fällt aus; denn aus würde nach Hilfssatz 44 (S. 340) folgen, was der ersten Gleichung in (173) widerspräche. Wir können daher eine Potenz von bestimmen derart, daß wird.

Da , Primideale zweiter Art sind, so folgt mit Rücksicht auf Hilfssatz 43 (S. 337) nach Satz 148 (S. 251), daß die Relativdiskriminante des Körpers nur die beiden Primideale , als Faktoren enthält. Nun ist nach (173) und nach Hilfssatz 45 (S. 340)

,