seien
,
Primärzahlen bez. von
,
; ferner seien
,
, … die von
verschiedenen, zu
konjugierten Primideale und
,
, … bez. die betreffenden zu
konjugierten Primärzahlen von
,
, …; andererseits seien
,
, … die von
verschiedenen, zu
konjugierten Primideale und
,
, … bez. die betreffenden zu
konjugierten Primärzahlen von
,
, …. Endlich sei
die durch
teilbare rationale Primzahl; man hat dann
, wo
eine Einheit in
ist. Nach Satz 152 (S. 276) gibt es ein Primideal
, für welches
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(167)
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(168)
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(169)
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wird, wo
irgendeine von
verschiedene Einheitswurzel bedeutet, und wo
, …,
die
in § 166 bestimmten und dort mit
,
, …,
bezeichneten Einheiten in
sind. Aus (167) folgt
,
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und daher ist, wenn
eine Primärzahl von
bedeutet, nach Satz 140 (S. 231) auch
.
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(170)
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Andererseits ist wegen (167) nach Hilfssatz 44
;
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und daher folgt aus (170)
, es ist also
.
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(171)
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In gleicher Weise leiten wir aus (168) die Beziehung her:
.
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(172)
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Wir bestimmen nun die Potenz
von
so, daß
wird, und betrachten dann den Kummerschen Körper
. Da
nach Voraussetzung und
wegen (169) Primideale zweiter Art sind, so folgt vermittelst des Hilfssatzes 43, daß die Relativdiskriminante dieses Körpers nur die beiden Primideale
,
enthält. Nach Hilfssatz 35 (S. 312) gibt es daher in
höchstens
Geschlechter. Das Primideal
ist die
-te Potenz eines Primideals