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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/34

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wo , , , … Zahlen aus der Reihe , , , …, bedeuten. Diejenigen unter den Substitutionen , , , …, für welche die betreffenden Exponenten , , , … den Wert haben, mögen mit , , … bezeichnet werden; ihre Zahl sei ; sie bilden, wie leicht ersichtlich, eine invariante Untergruppe der Trägheitsgruppe. Diese Untergruppe -ten Grades werde die Verzweigungsgruppe des Primideals genannt und mit bezeichnet. Der zu gehörige Körper heiße der Verzweigungskörper des Primideals .

Es sei eine so hohe Potenz von , daß für jede von verschiedene Substitution der Verzweigungsgruppe die Inkongruenz nach gilt. Setzen wir nun nach , wo eine ganze Zahl in bedeutet, so folgt leicht nach und hieraus in gleicher Weise nach und endlich nach . Demnach ist , d. h. der Grad der Verzweigungsgruppe ist gleich einer Potenz von ; wir setzen .

Es sei nun der kleinste von verschiedene unter den Exponenten , , … und es gebe im ganzen voneinander verschiedene solcher Exponenten. Dann sind diese Exponenten notwendig Vielfache von und stimmen mit den Zahlen , , , …, überein; es ist ferner . Zugleich erkennen wir, daß alle Substitutionen der Trägheitsgruppe in die Gestalt gebracht werden können, wo die Werte , , …, annimmt und alle Substitutionen der Verzweigungsgruppe durchläuft. Es ist folglich . Wir fassen wiederum die erhaltenen Sätze zusammen:

Die Verzweigungsgruppe ist eine invariante Untergruppe der Trägheitsgruppe, der Grad derselben ist eine Potenz von . Der Grad der Trägheitsgruppe ist gleich dem -fachen Grade der Verzweigungsgruppe, wo einen Teiler von bedeutet und daher nicht den Faktor enthält. Man erhält die Substitutionen der Trägheitsgruppe, indem man die Substitutionen der Verzweigungsgruppe mit , , , …, multipliziert, wo eine geeignet gewählte Substitution der Trägheitsgruppe ist. ist eine Substitution der Verzweigungsgruppe.

Das algebraische Verhältnis zwischen Trägheitskörper und Verzweigungskörper wird durch den folgenden Satz klargelegt:

Ist eine den Verzweigungskörper bestimmende Zahl, so genügt einer Gleichung -ten Grades von der Gestalt

,

deren Koeffizienten Zahlen des Körpers sind und welche im Rationalitätsbereiche eine Galoissche Gleichung mit der zyklischen Gruppe -ten Grades ist.

Um nun vor allem Aufschluß über das Verhalten des Ideals im Körper zu gewinnen, setzen wir

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 17. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/34&oldid=- (Version vom 31.7.2018)